SOMA DE ARCOS

 

1. (Mackenzie 98) I) sen£[(™/7) - x] + sen£[(5™/14) + x]=1, ¯ x Æ IR

II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir é 2

III) No triângulo a seguir, não retângulo,

tg ‘ + tg ’ + tg – = tg ‘ . tg ’ . tg –.

 

 

 

Dentre as afirmações cima:

a) Todas são verdadeiras.

b) todas são falsas.

c) somente a III é falsa.

d) somente a II é falsa.

e) somente a I é falsa.

 

2. (Ufpr 2002) Com base nos estudos de trigonometria plana, é correto afirmar:

 

(01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é ™/4.

(02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja o número real x, desde que cos x · 0.

(04) Existe número real x tal que

2sen£x + cos£x = 0.

(08) Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem co-seno igual a 4/5.

(16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dos ângulos internos de um triângulo, então senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).

 

Soma (       )

 

3. (Fuvest 2003) Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B. O raio da maior é 5/4 do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q.

 

 

Calcule:

a) cos ABQ

b) cos ABP

c) cos QBP

 

4. (Ufsc 2005) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y = 15x¥, sabendo que a + b = ™/2.

 

 

 

5. (Unicamp 95) Encontre todas as soluções do sistema:

 

ýsen (x+y) =0

þ

ÿsen (x-y) =0

 

que satisfaçam 0 ´ x ´ ™ e 0 ´ y ´ ™.

 

6. (Uff 2000) Dados os ângulos ‘ e ’ tais que ‘, ’ Æ [0, ™/2], cos‘=1/2 e cos’=(Ë3)/2, resolva a equação:

sen(x-‘)=sen(x-’)

 

7. (Uel 2000) Se a medida x de um arco é tal que ™/2 < x < ™, então

a) sen (x + ™) > 0

b) cos (x + ™) < 0

c) tg (x + ™) > 0

d) cos (x + 2™) > 0

e) sen (x + 2™) > 0

 

8. (Fuvest 94) a) Calcule sen15°.

b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.

 

9. (Pucsp 95) Um possível valor de x, que satisfaz a equação:

 

 

a) ™/3.

b) ™/4.

c) ™/6.

d) ™/8.

e) ™/12.

 

10. (Unesp 95) a) Demonstre a identidade:

 

(Ë2).sen [x - (™/4)] = sen x - cos x.

 

b) Determine os valores de m Æ R para os quais a equação:

 

(Ë2)(sen x - cos x)=m£-2 admite soluções.

 

11. (Unesp 95) Determine todos os valores de x, 0´x´2™, para os quais se verifica a igualdade (senx+cosx)£ = 1.

 

12. (Unitau 95) Se sen(a-30°)=m, então cos(60°+a) é igual a:

a) 2 m.

b) 1 m.

c) - 1 m.

d) - 2 m.

e) 3 m.

 

13. (Fuvest 92) No quadrilátero ABCD onde os ângulos  e ð são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen ï é:

 

 

a) (Ë5)/5

b) (2Ë5)/5

c) 4/5

d) 2/5

c) 1/2

 

14. (Fuvest 96) Os números reais sen (™/12), sen a, sen (5™/12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

a) 1/4 

b) (Ë3)/6

c) (Ë2)/4

d) (Ë6)/4       

e) (Ë3)/2

 

15. (Fatec 97) Se x-y=60°, então o valor de (senx+seny)£+(cosx+cosy) £ é igual a

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 

16. (Mackenzie 97) A soma dos valores inteiros de k para que a equação (Ë3)sen x + cos x = k - 3 apresente soluções reais é:

a) 7

b) 10

c) 13

d) 15

e) 20

 

17. (Ufrs 98) No intervalo [0, 2™], dois possíveis valores para a soma x+y obtida da equação mostrada na figura adiante

 

 

são

a) ™/6 e 11™/6

b) ™/3 e 5™/3

c) 4™/3 e 11™/6

d) ™/6 e 2™/3

e) ™/3 e ™/6

 

18. (Ufes 99) Se x = 105°, então sen x é

 

a) [6(Ë2) - 2]/8

b) [(6Ë3) - 7]/4

c) [(7Ë3) - 5]/8

d) [(3 + Ë2) Ë3]/8

e) [(1 + Ë3) Ë2]/4

 

19. (Fuvest 2000) Determine os números reais x e y, com 0´x+y´™ e 0´y´™, tais que

 

ýsen x sen y = -1/4

þ

ÿcos (x + y) + cos (x- y) = 3/2

 

20. (Ita 2000) Considere f:IR ë IR definida por f(x)=2sen3x-cos[(x-™)/2].

Sobre f podemos afirmar que:

a) é uma função par.

b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4™.

c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4™/3.

d) é uma função periódica de período fundamental 2™.

e) não é par, não é ímpar e não é periódica.

 

21. (Ita 2001) Considere as funções

 

f(x)= (5+7Ñ)/4, g(x)= (5-7Ñ)/4 e h(x)= arctg x

 

Se a é tal que h(f(a))+h(g(a))= ™/4, então f(a)-g(a) vale:

a) 0

b) 1

c) 7/4

d) 7/2

e) 7

 

22. (Uerj 2002) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.

 

 

Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições:

 

a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2

 

b) åæ = 2 æè.

 

23. (Pucpr) Se simplificarmos a expressão

 

           {sen[(™/2)+’]tg(™-’)}

______________________________

 

{sec[(™/2)-’]sen(™-’)cotg[(™/2)+’]}

 

obteremos:

a) sen’

b) tg’

c) cos’

d) -cos’

e) -sen’

 

24. (Ufc 99) Expresse cos 3x em função de cos x. Use esse resultado para mostrar que cos 20° não é um número racional.

 

25. (Ufrrj 2000) Os símbolos a seguir foram encontrados em uma caverna em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.

 

 

Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado acima. Se a+b=™/6, pode-se afirmar que a soma das áreas das figuras é igual a

a) ™.

b) 3.

c) 2.

d) 1.

e) ™/2.

 

26. (Ufsm 2002) Considerando x · y, a expressão sen(x + y).sen(x - y) é equivalente a

a) sen (x£ - y£)

b) sen x£ + sen y£

c) sen x sen y + cos x cos y

d) sen£ x cos£ y

e) cos£ y - cos£ x

 

27. (Ita 2005) Obtenha todos os pares (x, y), com x, y Æ [0, 2™], tais que

            sen (x + y) + sen (x - y) = 1/2

            sen x + cos y = 1

 

28. (Unifesp 2006) A expressão sen (x - y) cos y + cos (x - y) sen y é equivalente a

a) sen (2x + y).

b) cos (2x).

c) sen x.

d) sen (2x).

e) cos (2x + 2y).

 

29. (Pucrj 2006) Se sen š = - 1, então o valor de sen 3š é:

a) -1/3

b) 0

c) 1

d) - 1

e) - 3

 

30. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, ™/4 e 2™/3, OP = Ë2 e OQ = Ë3.

 

 

Então, (PQ)£ é

a) 2 + Ë3.

b) 3 + Ë2.

c) 2 + Ë2.

d) 3 + Ë3.

e) (Ë2) + Ë3.

 

31. (Uerj 2004) Para executar a rotação do vetor (figura 1) de um ângulo š no sentido anti-horário, um programa de computador multiplica-o pela matriz de rotação (figura 2). O vetor ¼ = Rš . « é o resultado desta rotação.

a) Para quaisquer š e š‚, demonstre que Rš . Rš‚ = Rš+š‚.

b) Determine o valor de š que torna verdadeira a igualdade R¤š = - I, na qual I é a matriz identidade 2x2.

 

 

 

 


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GABARITO

 

1. [A]

 

2. 02 + 08 + 16 = 26

 

3. a) 4/5

b) 2/5

c) (8 + 3Ë21)/25

 

4. y = 15x¥ = 60

 

5. V = { (0, 0), (0, ™), (™, 0), (™, ™), (™/2, ™/2) }

 

6. x = k™ - ™/4, k Æ Z

 

7. [E]

 

8. a) sen 15° = (Ë6-Ë2)/4

b) A = 3 (Ë6 - Ë2) U. de área.

 

9. [E]

 

10. a) (Ë2) sen [x - (™/4)] =

    (Ë2) [sen x cos (™/4) - sen (™/4) cos x] =

    (Ë2) {[(Ë2)/2] sen x - [(Ë2)/2] cos x} =

    sen x - cos x

 

b) -2 ´ m ´ 2

 

11. V = {0, ™/2, ™, 3™/2, 2™}

 

12. [C]

 

13. [E]

 

14. [D]

 

15. [D]

 

16. [D]

 

17. [B]

 

18. [E]

 

19. x = -™/6 e y = ™/6 ou

x = -5™/6 e y = 5™/6

 

20. [B]

 

21. [D]

 

22. a) A = 30°, B = 60° e C = 90°

 

b) A = 30°, B = 60° e C = 90°

 

23. [C]

 

24. Sabemos da trigonometria que:

(I) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) e

(II) sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

 

tomando a = 2x e b = x, em (I) obtemos:

cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x)

tomando a = b = x, em (I) e (II) obtemos:

cos(2x) = cos£(x) - sen£(x) e

sen(2x) = 2sen(x)cos(x).

 

 Logo cos(3x) 

= [cos£(x) - sen£(x)]cos(x) - 2sen£(x)cos(x) =

= cos¤(x) - sen£(x)cos(x) - 2sen£(x)cos(x) =

= cos¤(x) - 3sen£(x)cos(x) =

= cos¤(x) - 3[1 - cos£(x)]cos(x) =

= cos¤(x) - 3cos(x) + 3cos¤(x) =

= 4cos¤(x) - 3cos(x)

 

Fazendo x = 20° na igualdade acima obtemos:

cos(60°) = 4cos¤(20°) - 3cos(20°)

4cos¤(20°) - 3cos(20°) - (1/2) = 0

 

Portanto cos(20°) é raiz da equação 4x¤-3x-(1/2)=0. Para as raízes racionais desta equação temos as seguintes possibilidades: 1; 1/2; 1/4; 1/8. Testando estes oito valores vemos que nenhum deles é raiz. Portanto a equação 4x¤-3x-(1/2)=0 não possui raiz racional e como cos(20°) é uma das raízes dessa equação, não pode ser racional.

 

25. [D]

 

26. [E]

 

27. (™/6; ™/3), (™/6; 5™/3), (5™/6; ™/3), e (5™/6; 5™/3)

 

28. [C]

 

29. [C]

 

30. [A]

 

31. b) š = 60° ou ™/3 rad