RELAÇÕES NO TRIÂNGULO

 

1. (Fatec 98) A figura a seguir é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 10Ë2cm de lado e cuja altura mede 5 cm.

 

 

Se M é o ponto médio de aresta DF, o seno do ângulo BME é

a) (Ë5)/5

b) (Ë7)/7

c) (Ë3)/2

d) 1/4

e) 2/5

 

2. (Ufrj 2004) Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são os pontos de interseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x£.

 

3. (Unesp 94) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2dm.

Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

 

 

a) Ë6 e Ë3.

b) Ë5 e Ë3.

c) Ë6 e Ë2.

d) Ë6 e Ë5.

e) Ë3 e Ë5.

 

4. (Ita 95) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo šÆ(0,™/4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2š, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:

a) H = 2hd£/(d£-h£)

b) H = 2hd£/(d£+h)

c) H = 2hd£/(d£-h)

d) H = 2hd£/(d£+h£)

e) H = hd£/(d£+h)

 

5. (Fuvest 92) Um losango está circunscrito a uma circunferência de raio 2cm. Calcule a área deste losango sabendo que um de seus ângulos mede 60°.

 

6. (Unesp 92) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se åæ=2m e BðA mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é:

 

 

a) (2Ë3)/3 m

b) (Ë2)/3 m

c) (Ë3)/6 m

d) (Ë3)/2 m

e) (Ë3)/3 m

 

7. (Unicamp 93) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distancia AB=1.200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.

b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

 

8. (Cesgranrio 95) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

 

9. (Ufpe 96) Considere, no sistema de coordenadas retangulares OXY, o ponto P(1,Ë3). Se rotacionarmos o segmento OP de 15° em torno do ponto O no sentido anti-horário, obteremos o segmento OP'. Determine o quadrado da soma das coordenadas de P'.

 

10. (Ufpe 96) A rampa de acesso à garagem de um edifício sobre um terreno plano tem forma retangular e determina um ângulo de 60° com o solo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra da rampa tem área igual a 36m£, calcule a área da rampa.

 

11. (Ufpe 95) Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir.

Se RS=100, quanto vale PQ?

 

 

a) 100Ë3

b) 50Ë3

c) 50

d) (50Ë3)/3

e) 25Ë3

 

12. (G1) Um papagaio ou pipa, é preso a um fio esticado que forma um ângulo de 45° com o solo. O comprimento do fio é de 100m. Determine a altura do papagaio em relação ao solo. (use a tabela trigonométrica)

 

 

 

13. (G1) Determine x no caso a seguir:

 

 

 

14. (G1) Determine x no caso a seguir:

 

 

 

15. (G1) No triângulo ABC a seguir, calcule o perímetro.

 

 

 

16. (G1) O cosseno do ângulo x, assinalado na figura a seguir, é:

 

 

a) 1/2

b) 2/Ë3

c) Ë3/2

d) Ë3/3

e) Ë2/3

 

17. (G1) Na figura a seguir, o seno do ângulo ‘ é 2/3. Então o valor de x é:

 

 

a) 6

b) 8

c) 9

d) 7

e) 10

 

18. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e calcula o ângulo AðB = 30°. Sabendo-se que o ângulo AïC é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6 milhas, pergunta-se de quantas milhas é a distância entre o farol e o ponto B.

a) 6Ë3 milhas

b) 18Ë3 milhas

c) 2Ë3 milhas

d) 3Ë3 milhas

e) 5Ë3 milhas

 

19. (G1) Uma torre projeta uma sombra de 40m quando o Sol se encontra a 64° acima da linha do horizonte. A altura da torre é:

a) 82 m

b) 3 m

c) 2Ë3 m

d) 80 m

e) 7Ë3 m

 

20. (G1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°. Sabendo-se que a árvore está distante 100m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?

 

 

a) 100 m

b) 50 m

c) 300 m

d) 200 m

e) 400 m

 

21. (Faap 97) A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?

 

Dados:

sen 30° = 0,5

sen 60° = 0,866

cos 30° = 0,866

cos 60° = 0,5

Ë2 = 1,41

Ë3 = 1,73

tg 30° = 0,577

tg 60° = Ë3

 

 

a) 15,0 m

b) 8,66 m

c) 12,36 m

d) 9,86 m

e) 4,58 m

 

22. (Unicamp 97) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.

a) Calcule os comprimentos dos catetos.

b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.

 

23. (Cesgranrio 90) 0 < a < ™/2, ™/2 < b < ™ e sen a= sen b=3/5, então a + b vale:

a) ™.

b) 3™/2.

c) 5™/4.

d) 4™/3.

e) 6™/5.

 

24. (Fuvest 97) ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento CX é bissetriz do ângulo BðA, onde X é ponto do lado åæ. A medida do segmento CX é 4cm e a do segmento BC, 24cm. Calcule a medida de åè.

 

25. (Cesgranrio 90) Se no triângulo retângulo ABC, mostrado na figura, ‘=™/6, AD=AB=4, calcule o comprimento do segmento DE paralelo a AB.

 

 

 

26. (Puccamp 97) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.

 

 

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é

a) 7 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 14 cm

e) 16 cm

 

27. (Fuvest 98) Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC = 7cm, AD = BD. Sabendo que sen(a-b) = sen a cos b - cos a  sen b, o valor de sen x é

 

 

a) (Ë2)/2

b) 7/Ë50

c) 3/5

d) 4/5

e) 1/Ë50

 

28. (Pucmg 97) Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°.

A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que:

 

 

a) 3 < h < 5

b) 4 < h < 6

c) 5 < h < 7

d) 6 < h < 8

e) 7 < h < 9

 

29. (Unesp 98) O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do ângulo do vértice desse triângulo é igual a

a) - (Ë13)/2

b) (Ë13)/5

c) - (Ë15)/3

d) (Ë14)/7

e) - (Ë15)/7

 

30. (Uel 97) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km.

 

 

 

Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? (Se necessitar, useË2 ¸1,41; Ë3¸1,73; Ë6¸2,45.)

a) 463,4 m

b) 535,8 m

c) 755,4 m

d) 916,9 m

e) 1071,6 m

 

31. (Unirio 96) Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador?

 

 

 

Considere as afirmativas:

 

l - a distância d é conhecida;

ll - a medida do ângulo ‘ e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.

 

Então, tem-se que:

a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a ll, sozinha, não.

b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a l, sozinha, não.

c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é:

d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.

e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados.

 

32. (Unesp 99) Se (cos x) . (sen x) = (Ë2)/3 e tg x = Ë2, com 0<x<™/2, determine o único valor de

a) cos x;

b) sen x + sec x.

 

33. (Cesgranrio 99)

 

 

Na figura anterior, os pontos B e C pertencem à reta r e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B e C é igual a metade da distância entre A e D, e a medida do ângulo ACD é 45°. O ângulo CAD mede:

a) 115°

b) 105°

c) 100°

d) 90°

e) 75°

 

34. (Cesgranrio 99)

 

 

No cubo de base ABCD, anteriormente representado, marca-se o ponto P, centro da face EFGH. A medida, em graus, do ângulo PBD é um valor entre:

a) 0 e 30

b) 30 e 45

c) 45 e 60

d) 60 e 90

e) 90 e 120

 

35. (Unesp 99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é

a) (Ë2)/8.

b) (Ë2)/4.

c) (Ë3)/2.

d) Ë2.

e) 2Ë2

 

36. (Ufrj 99) Na figura a seguir, os círculos de centros O e O‚ são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.

 

 

Determine o comprimento da curva ABC.

 

37. (Mackenzie 98) I) sen£[(™/7) - x] + sen£[(5™/14) + x]=1, ¯ x Æ IR

II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir é 2

III) No triângulo a seguir, não retângulo,

tg ‘ + tg ’ + tg – = tg ‘ . tg ’ . tg –.

 

 

 

Dentre as afirmações cima:

a) Todas são verdadeiras.

b) todas são falsas.

c) somente a III é falsa.

d) somente a II é falsa.

e) somente a I é falsa.

 

38. (Puccamp 98) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30° e 60° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

 

 

Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da torre?(Se necessário, utilize Ë2=1,4 e Ë3=1,7).

a) 30 m

b) 32 m

c) 34 m

d) 36 m

e) 38 m

 

39. (Puccamp 96) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante.

 

 

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?

a) 150

b) 180

c) 270

d) 300

e) 310

 

40. (Ufrs 96) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio.

 

 

Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de

a) 40 Ë2

b) 40 Ë3

c) 45 Ë3

d) 50 Ë3

e) 60 Ë2

 

41. (Unb 99) Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu pólo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de ‘, obtido pela interseção com o plano ‘ da reta determinada por P e pelo pólo Norte. Essa construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as projeções dos pontos M e Q, respectivamente.

 

 

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60°, a partir da latitude 60° sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terrestre feito a partir da projeção estereográfica da Terra e com escala 1:10©, calcule, em centímetros, o comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda, tg15° =0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

 

42. (Unirio 99)

 

 

Um barco está preso por uma corda (åè) ao cais, através de um mastro (åæ) de comprimento 3m, como mostra a figura. A distância, em m, da proa do barco até o cais (æè) é igual a:

a) (3Ë2 + Ë6) / 2

b) (3Ë2 + Ë6) / 4

c) (Ë2 + Ë6) / 2

d) (Ë2 + Ë6) / 4

e) Ë6

 

43. (Unirio 99)

 

 

Considere a figura anterior, que apresenta um rio de margens retas e paralelas, neste trecho. Sabendo-se que AC=6 e CD=5, determine:

 

a) a distância entre B e D;

 

b) a área do triângulo ABD.

 

44. (Ufes 99) Um homem de 1,80m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifício, esse ângulo aumenta para 60°. Qual a altura do edifício?

 

45. (Ufsm 99) Um estudante de Engenharia vê um prédio do Campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio é igual a

a) 30Ë3 m

b) 20Ë3 m

c) 30 m

d) 10Ë3 m

e) 28 m

 

46. (Fuvest 2000) Na figura a seguir, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado (2Ë2)/3. Então, a medida do lado AB é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

 

 

47. (Uff 2000) Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais e 0°<‘<45°

 

.

Indicando-se por S a área de MNPQ e por S' a

área de MNUV, conclui-se que:

a) S = S' sen ‘

b) S'= S

c) S' = S cos ‘

d) S = S' cos ‘

e) S'= S sen ‘

 

48. (Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

 

 

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25cm e 52cm.

De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:

a) 10°

b) 12°

c) 13°

d) 14°

 

 

49. (Uepg 2001) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância åæ=5km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

 

 

01) åè = 10 km

02) åî = 2,5 km

04) æî = 5Ë3 km

08) O ângulo BÂD mede 60°

16) A velocidade média do barco é de 15 km/h

 

50. (Fuvest 2001) Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) e C=(0,Ë3). Então, o ângulo BÂC mede:

a) 60°

b) 45°

c) 30°

d) 18°

e) 15°

 

51. (Unesp 2001) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

 

 

Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é

a) 30Ë3.

b) 40Ë3.

c) 60Ë3.

d) 80Ë3.

e) 90Ë3.

 

52. (Ufpr 2001) Um instrumento para medir o diâmetro de pequenos cilindros consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme ilustração abaixo. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que na escala corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um certo ponto de AB. Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar:

 

 

(01) x é igual a 2/[tg(š/2)]cm.

(02) x é igual a 1/[(tgš/2)]cm.

(04) Se a medida de š for 90°, então x será igual a 2cm.

(08) Quanto menor for o ângulo š, maior será a distância x.

 

Soma (       )

 

53. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir.

 

 

a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos lados AC e AB).

 

b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo A.

 

54. (Unesp 2002) Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura.

 

 

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, e que o triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é

a) 30Ë3.

b) 10Ë3.

c) (10Ë3)/3.

d) 8Ë3.

e) (3Ë3)/2.

 

55. (Ufpr 2002) Com base nos estudos de trigonometria plana, é correto afirmar:

 

(01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é ™/4.

(02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja o número real x, desde que cos x · 0.

(04) Existe número real x tal que

2sen£x + cos£x = 0.

(08) Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem co-seno igual a 4/5.

(16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dos ângulos internos de um triângulo, então senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).

 

Soma (       )

 

56. (Ufrn 2002) Na representação a seguir, EF é diâmetro da circunferência; EG e FG são catetos do triângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a OX para qualquer ‘. O raio da circunferência é unitário.

 

 

Nessas condições, podemos afirmar que, para qualquer ‘ (0°< ‘ < 90°),

a) FG/EG = 2tg ‘

b) sen£ ‘ + cos£ ‘ = EF

c) OH = cos (90° - ‘)

d) FG = 2 sen ‘

 

 

57. (Ufrj 2002) A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r=5cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60°, calcule a medida do raio R da circunferência maior. Justifique.

 

 

 

58. (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.

 

 

a) Sendo o ângulo AïC=’, determine a área do triângulo ABC, em função de ’ e r.

 

b) Esta área é máxima para qual valor de ’.

 

59. (Ufv 2001) Na figura a seguir, os triângulos são retângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4cm. Se o cateto AD do triângulo ADC mede 2cm, então o valor de tgx é:

a) (Ë7) / 4

b) Ë7

c) (Ë7) / 2

d) (Ë7) / 3

e) (Ë7) / 7

 

 

 

60. (Uel 2001) Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na figura abaixo, sabe-se que CD=2.BC e que a distância de D a E é 12m. Então, a distância de A a C, em metros, é:

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

 

 

 

61. (Ufrn 2001) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo.

 

 

A partir desses dados, calcule, em metros,

 

a) o comprimento dos segmentos MS e SP;

 

b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamanho do segmento MP.

 

62. (Ufrs 2000) Na figura, o círculo é unitário e æè é tangente ao círculo no ponto P.

 

 

Se o arco AP mede ‘, BC vale

a) tan ‘ + cot ‘.

b) sen ‘ + cos ‘.

c) sec ‘ + cossec ‘.

d) tan ‘ + sen ‘.

e) cot ‘ + cos ‘.

 

63. (Ufal 99) Analise as alternativas abaixo.

 

(     ) cossec 45° = (Ë2)/2

(     ) sec 60° = 2

(     ) cotg 30° = Ë3

(     ) sec (™/2) = 0

(     ) sen (55™/2) = 1

 

64. (Uel 2000) Neste problema, considere o planeta Terra como uma esfera com raio de 6400km.

Um satélite percorre uma órbita circular em torno da Terra e, num dado instante, a antena de um radar está direcionada para ele, com uma inclinação de 30° sobre a linha do horizonte, conforme mostra a figura a seguir.

 

 

Usando Ë2=1,4 e Ë3=1,7, é correto concluir que a distância x, em quilômetros, da superfície da Terra ao satélite, está compreendida entre

a) 1350 km e 1450 km

b) 1500 km e 1600 km

c) 1650 km e 1750 km

d) 1800 km e 1900 km

e) 1950 km e 2050 km

 

65. (Ufes 2000) Quatro pequenas cidades A, B, C e D estão situadas em uma planície. A cidade D dista igualmente 50km das cidades A, B e C. Se a cidade C dista 100km da cidade A e 50km da cidade B, qual dos valores abaixo melhor representa a distância da cidade A à cidade B?

a) 86,6 km

b) 88,2 km

c) 89,0 km

d) 92,2 km

e) 100,0 km

 

66. (Ufes 2000) Duas circunferências são tangentes entre si e aos lados  de um ângulo. Se R é o raio da maior, r é o raio da menor e o ângulo mede 60°, então

 

a) R = (3Ë3)r/2

b) R = 2Ë3r

c) R = 3Ë3r

d) R = 2r

e) R = 3r

 

67. (Uflavras 2000) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distantes 60Ë3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está situada de tal modo que åæ seja perpendicular a åè e a medida do ângulo AðB seja 60°. A largura do rio é

a) 30Ë3 m

b) 180 m

c) 60Ë3 m

d) 20Ë3 m

e) 60 m

 

 

 

68. (Mackenzie 2001) Observando o triângulo da figura, podemos afirmar que (cos‘-sen‘)/(1-tg‘) vale:

 

 

a) 1/5

b) 1/25

c) (Ë5)/5

d) 2/5

e) (2Ë5)/5

 

69. (Ufjf 2002) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é:

 

Use os valores:

sen30° = 0,5

cos30° = 0,866

tg30° = 0,577

 

 

a) 112.

b) 115.

c) 117.

d) 120.

e) 124.

 

70. (Ufjf 2002) A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre uma reta, A PARTIR DA ORIGEM, desenhada por este programa é:

 

a) (0, 10Ë3).

b) (10Ë3, 0).

c) (10Ë3, 10Ë3).

d) (10Ë3, 5Ë3).

e) (10Ë3, 10).

 

71. (Ufv 2002) Considere o triângulo retângulo ABC abaixo, com åè=x, æè=y, Â=‘, ï=’ e ð=90°.

 

 

É CORRETO afirmar que:

 

a) se ’ < 45°, então y < x.

b) se ‘ = 65°, então x µ y.

c) se x = 3/5 e y = 4/7, então ’ < 45°.

d) se x = log2 e y = log3, então ‘ ´ 30°.

e) se ’ = 60°, então y < x.

 

72. (Uerj 2003) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir.

 

 

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB.

Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:

a) 500

b) 500Ë3

c) 1.000

d) 1.000Ë3

 

 

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GABARITO

 

1. [B]

 

2. Ë10

 

3. [C]

 

4. [A]

 

5. (32Ë3)/3 cm£

 

6. [E]

 

7. Observe a figura a seguir:

 

 

b) d = 600 (3 - Ë3)m

 

8. [B]

 

9. 6

 

10. 72

 

11. [B]

 

12. 50Ë2 m

 

13. x = 3

 

14. x = 5

 

15. Perímetro  = 7

 

16. [C]

 

17. [B]

 

18. [A]

 

19. [A]

 

20. [D]

 

21. [D]

 

22. a) Ë(2+Ë2)/2 e Ë(2-Ë2)/2

 

b) O cateto maior vale Ë(2+Ë2)/2.

Logo, y£ = (2+Ë2)/4 = (2 + 1,41)/4 = 0,8525

0,92£ = 0,8464 e 0,93£ = 0,8649

Como 0,8525 está entre 0,8464 e 0,8649, segue-se que y, para y >0, está entre 0,92 e 0,93 metros, ou seja, entre 92 e 93 cm.

 

23. [A]

 

24. åè = 3 cm

 

25. 4 - 2Ë3

 

26. [B]

 

27. [C]

 

28. [B]

 

29. [E]

 

30. [D]

 

31. [C]

 

32. a) cos x = + Ë3/3

b) sen x + sec x = (Ë6 + 3Ë3)/3

 

33. [B]

 

34. [C]

 

35. [E]

 

36. 5™/3

 

37. [A]

 

38. [C]

 

39. [C]

 

40. [B]

 

41. 09

 

42. [A]

 

43. a) 3Ë3 + 5

 

b) (9Ë3 + 15) / 2

 

44. h = (31,80 + 10 Ë3) m

 

45. [B]

 

46. [B]

 

47. [E]

 

48. [C]

 

49. 31

 

50. [E]

 

51. [C]

 

52. 02 + 08 = 10

 

53. a) h = c . sen Â

 

b) SÛ½Ý = 1/2 . b . c . sen Â

 

54. [B]

 

55. 02 + 08 + 16 = 26

 

56. [D]

 

57. Seja P o centro da circunferência menor. Considere o raio PC, perpendicular ao segmento tangente OA em C, como mostra a figura.

 

Então:

OP = R - r = R - 5

PC = r = 5

AÔP = 1/2 AÔB = 30°

 

Considerando o triângulo retângulo COP, obtemos:

sen 30° = PC/OP.

 

Logo: 1/2 = 5/(R-5)

R = 15 cm

 

58. a) A = r£ . sen (2’)

 

b) ’ = 45°

 

59. [E]

 

60. [C]

 

61. a) MS = 5 (Ë3 + 2)

    SP = 5 (2 Ë3 + 1)

 

b) MP = 10 Ë(5 + 2 Ë3)

 

62. [A]

 

63. F V V F F

 

64. [A]

 

65. [A]

 

66. [E]

 

67. [E]

 

68. [A]

 

69. [C]

 

70. [D]

 

71. [E]

 

72. [B]