Trigonometria: Arcos, Polígonos e Triângulos 1

1. (Unicamp 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.

 

 

a) Calcule o volume do prisma.

b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'.

 

2. (Unifesp 2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência.

 

 

Nestas condições, determine

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.

b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.

 

3. (Ufg 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?

 

 

 

4. (Uerj 2002) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.

 

 

Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições:

 

a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2

 

b) åæ = 2 æè.

 

5. (Fuvest 95) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°.

 

 

A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:

a) 11.

b) 12.

c) 13.

d) 14.

e) 15.

 

6. (Fuvest 90) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6.

b) 4/5.

c) 3/4.

d) 2/3.

e) 1/8.

 

7. (Cesgranrio 95) Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?

a) 30 min.

b) 1 h.

c) 1 h 30 min.

d) 2 h.

e) 2 h 15 min.

 

8. (Fei 94) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:

a) Ë37 cm

b) Ë13 cm

c) 2Ë3 cm

d) 3Ë3 cm

e) 2Ë2 cm

 

9. (Unesp 89) Os lados de um triângulo medem 2Ë3, Ë6 e 3+Ë3.

Determine o ângulo oposto ao lado que mede Ë6.

 

10. (Cesgranrio 93) Os  lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O co-seno do maior ângulo interno desse triângulo vale:

a) 11/24

b) - 11/24

c) 3/8

d) - 3/8

e) - 3/10

 

11. (G1) Determine os ângulos de um quadrilátero convexo, sabendo que eles medem x, 2x, 3x e 4x.

 

12. (Mackenzie 96) Supondo x real, a desigualdade cos(cosx)>0 é verdadeira:

a) somente se -™/2 < x < -™/4.

b) somente se -™/4 < x < 0.

c) somente se 0 < x < ™/4.

d) somente se ™/4 < x < ™/2.

e) sempre.

 

13. (Pucmg 97) Na figura, ABCD é um quadrado cuja área mede 4 m£, e C é o ponto médio do segmento AE. O comprimento de BE, em metros, é:

 

 

a) Ë5

b) 2Ë5

c) 5Ë2

d) 3Ë5

e) 4Ë2

 

14. (Fuvest 98) No cubo de aresta 1, considere as arestas åè e æî e o ponto médio, M, de åè

a) Determine o cosseno do ângulo BAD.

b) Determine o cosseno do ângulo BMD.

c) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, é o maior? Justifique.

 

 

 

15. (Cesgranrio 99)

 

 

Na figura anterior está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB mede, em radianos:

a) ™/2

b) (2™)/3

c) (3™)/4

d) (5™)/6

e) (8™)/9

 

16. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo ‘ mede 120°.

 

 

a) Determine o raio da circunferência circunscrita.

b) Determine a área do polígono.

 

17. (Mackenzie 98) A área do triângulo a seguir é:

a) 12 Ë3

b) 18 Ë3

c) 10 Ë3

d) 20 Ë3

e) 15 Ë3

 

 

 

18. (Uerj 98) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:

 

 

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:

a) 60°

b) 45°

c) 30°

d) 15°

 

 

19. (Unicamp 99) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, åæ=2km, æè=1km e a medida do ângulo AïC seja de 135°.

a) Calcule o raio dessa circunferência.

b) Calcule a área do triângulo ABC.

 

20. (Unirio 99)

 

 

Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é:

a) menor que 90.

b) maior que 90 e menor que 100.

c) maior que 100 e menor que 110.

d) maior que 110 e menor que 120.

e) maior que 120.

 

21. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm. Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.

 

 

 

22. (Uel 99) Sobre uma circunferência —, de centro O e raio r=2Ë3cm, são marcados dois pontos A e B que determinam em — uma corda de 6cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é

a) 5™/6

b) 2™/3

c) ™/3

d) ™/4

e) ™/6

 

23. (Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.

 

a) Quais são esses números?

 

b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.

 

c) Sendo ‘ e ’ os outros dois ângulos do referido triângulo, com ’>‘, mostre que sen£’-sen£‘<1/4.

 

24. (Ufrj 2001) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.

 

Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

 

25. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 20/™ cm, cujo ângulo oposto é de 15°. O comprimento da circunferência, em cm, é

a) 20 Ë2 (1 + Ë3).

b) 400 (2 + Ë3).

c) 80 (1 + Ë3).

d) 10 (2Ë3 + 5).

e) 20 (1 + Ë3).

 

26. (Fuvest 2002)

 

As páginas de um livro medem 1dm de base e Ë(1+Ë3)dm de altura. Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida do ângulo ‘, formado pelas diagonais das páginas, será:

a) 15°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 75°

 

27. (Ufscar 2002) Na figura, o dodecágono inscrito na circunferência tem seis lados medindo Ë2 e seis lados medindo Ë24.

Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde  é o ângulo compreendido entre os lados b e c,

 

            a£ = b£ + c£ - 2bc . cosÂ

 

 

a) Calcule o ângulo ï.

 

b) Calcule o raio da circunferência.

 

28. (Ufpi 2000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:

a) 3 + Ë5

b) 5 + Ë3

c) 3 + Ë3

d) 3 + Ë7

e) 5 + Ë7

 

29. (Ufrj 2002) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que

 

a£ = b£ + c£ - 2bc cosš

 

 

 

30. (Uerj 2001) A VIDA LÁ É MAIS CARA...

 

Só é possível chegar a Fernando de Noronha de barco ou avião. Por isso, tudo fica mais caro. Veja alguns exemplos

 

- Milheiro de tijolos

Diferença em relação ao Recife: + 840%

- Mercurocromo

Diferença em relação ao Recife: + 600%

- Quilo de sal

Diferença em relação ao Recife: + 300%

- Quilo de tomate

Diferença em relação ao Recife: + 190%

- Botijão de gás

Diferença em relação ao Recife: + 140%

- Quilo de batata

Diferença em relação ao Recife: + 82%

- Litro de gasolina

Diferença em relação ao Recife: + 68%

 

 

("Veja", 12/07/2000.)

 

Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente, Natal, Recife e Fernando de Noronha.

Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a 30°, calcule a medida aproximada do segmento NR, distância entre as cidades de Natal e Recife.

 

31. (Uerj 2001) A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB=BC=CD=2m.

Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide.

 

 

Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.

 

32. (Ufpr 2003) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é 3, a do ângulo E é 75°, e a do ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a distância AC é Ë2 e que o segmento ED é perpendicular a AB. Nessas condições, é correto afirmar:

 

(01) A medida do ângulo B é igual a 60°.

(02) AD > ED

(04) EB = Ë6

(08 EC = Ë5

 

Soma (       )

 

33. (Fatec 2003) Em um paralelogramo ABCD, os lados åæ e åî medem, respectivamente, xË2 cm e x cm, e š é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo š é tal que

a) cos š = (Ë14)/4

b) sen š = (Ë2)/4

c) cos š = (Ë3)/2

d) sen š = 1/2

e) tg š = Ë7

 

34. (Uel 2003) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 9.000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três

círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir

percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é:

a) 8Ë3 km

b) (8Ë3)/3 km

c) 3Ë8 km

d) 8Ë2 km

e) 2Ë8 km

 

35. (Fuvest 2004) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo AðB intercepta a semicircunferência. O comprimento da corda åî é:

 

 

a) RË(2 - Ë3)

b) RË[(Ë3) - (Ë2)]

c) RË[(Ë2) - 1]

d) RË[(Ë3) - 1]

e) RË(3-Ë2)

 

36. (Unicamp 2004) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.

a) Calcule o raio R da circunferência.

b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.

 

37. (Uff 2004) A figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.

 

 

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30°, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m (PM = QN = 2,0 m), que a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m (MN = 1,5 m) e que cos ‘ = (Ë3)/4.

A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão (h = RT) é:

a) 2,5 m

b) 3,0 m

c) 3,7 m

d) 4,5 m

e) 5,2 m

 

38. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, ™/4 e 2™/3, OP = Ë2 e OQ = Ë3.

 

 

Então, (PQ)£ é

a) 2 + Ë3.

b) 3 + Ë2.

c) 2 + Ë2.

d) 3 + Ë3.

e) (Ë2) + Ë3.

 

39. (Fgv 2005)

 

O angulo ‘, indicado na figura B, é igual a

a) arc cos (-1/5).

b) arc cos (1/5).

c) arc cos (-24/25).

d) arc sen (24/25).

e) arc sen 1.

 

40. (Fuvest 2006) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6.

O valor de CD é

 

 

a) 17/12

b) 19/12

c) 23/12

d) 25/12

e) 29/12

 

41. (Unesp 2006) Dois terrenos, T e T‚, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura. O lado BC do terreno T mede 30 m e é paralelo ao lado DE do terreno T‚. A frente AC do terreno T mede 50 m e o fundo BD do terreno T‚ mede 35 m. Ao lado do terreno T‚ há um outro terreno, Tƒ, com frente para a rua Z, na forma de um setor circular de centro E e raio ED.

 

 

Determine:

a) as medidas do fundo AB do terreno T e da frente CE do terreno T‚.

b) a medida do lado DE do terreno T‚ e o perímetro do terreno Tƒ.

 

42. (Fuvest 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB.

Determinar o comprimento de MN.

 

43. (Unicamp 92) Na figura adiante, åæ=åè=Ø é o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O.

a) Calcule o valor de Ø.

b) Mostre que cos 36° = (1+Ë5)/4.

 

 

 

44. (Ufrj 2000) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5).

Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo š, o ponto P transforma-se no ponto P'.

 

Determine cosš.

 

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.

 

45. Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros.

 

 

O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual a

a) 148

b) 152

c) 155

d) 160

e) 172

 

 


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GABARITO

 

1. a) 375Ë3 cm¤

 

b) 50Ë3 cm£

 

2. a) B(-1; 2), C(-Ë5; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e F(Ë5; 0)

S = 4[(Ë5) + 1] u.a.

b) cos (AÔB) = 0,6

 

3. AB = Ë(1,49 - 1,4 . cos 36°) m

 

4. a) A = 30°, B = 60° e C = 90°

 

b) A = 30°, B = 60° e C = 90°

 

5. [B]

 

6. [E]

 

7. [C]

 

8. [B]

 

9. ‘ = 30°

 

10. [B]

 

11. 36°, 72°, 108° e 144°

 

12. [E]

 

13. [B]

 

14. a) O cosseno do ângulo BAD é Ë6/3.

 

b) O cosseno do ângulo BMD é 7/9.

 

c) O ângulo BMD é maior do que o ângulo BAD.

 

15. [C]

 

16. a) r = Ë(3/2)

b) A = 3 - Ë3

 

17. [C]

 

18. [B]

 

19. a) R = Ë[(5 + 2 Ë2)/2] km

b) S = Ë2/2 km£

 

20. [C]

 

21. AÊD = 45°, área = 3Ë(3)/2 cm£

 

22. [B]

 

23. a) 3, 5, 7

 

b) 120°

 

c) No Triângulo

 

 

Pela lei dos senos, tem-se:

 

(sen ’)/5 = (sen ‘)/3 = (sen 120°)/7

 

(sen£ ’ - sen£ ‘)/(25 - 9) = 3/196

 

sen£ ’ - sen£ ‘ < 1/4

 

24. d = Ë7 m

 

25. [A]

 

26. [B]

 

27. a) 150°

 

b) Ë38

 

28. [C]

 

29. Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre c, respectivamente. Então: y = b cosš e x=c-bcosš.

Pelo Teorema de Pitágoras:

b£ = b£ cos£ š + h£

a£ = (c - bcosš)£ + h£ = c£-2bccosš+b£cos£š+h£

Logo: a£ = b£ + c£ - 2bc cosš.

 

30. 295 km

 

31. (Ë6)/3

 

32. 01 + 04 + 08 = 13

 

33. [E]

 

34. [A]

 

35. [A]

 

36. a) R = 3(Ë66)/8 cm

b) 495™/32 cm¤

 

37. [B]

 

38. [A]

 

39. [A]

 

40. [E]

 

41. a) AB = 70 m; CE = 25 m

 

b) DE = 45 m e 2P = 15 . (6 + ™) m

 

42. MN = 11/30 unidades de comprimento

 

43. a) Ø = (Ë5-1)/2

 

b) Pela lei dos cossenos temos:

Ø£ = 1£ + 1£ - 2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4

 

44. cosš = 20/29

 

45. [C]