FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.

(Unb 2000)    Volume de ar em um ciclo respiratório

 

            O volume total de ar, em litros, contido nos dois pulmões de um adulto em condições físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por

 

V(t) = 3.(1 - cos(0,4™t))/2™

 

O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é dado por

 

v(t) = 0,6 sen(0,4™t).

 

Os gráficos dessas funções estão representados na figura adiante.

 

1.

 

Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir.

 

(1) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t).

(2) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior que um litro.

(3) O período de um ciclo respiratório completo (inspiração e expiração) é de 6 segundos.

(4) A freqüência de v(t) é igual à metade da freqüência de V(t).

 

2.

 

Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos pulmões.

 

(1) O fluxo é negativo quando o volume decresce.

(2) O fluxo é máximo quando o volume é máximo.

(3) O fluxo é zero quando o volume é máximo ou mínimo.

 

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Puccamp 2005) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:

 

3.

 

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então

a) b = (5™)/31

b) a + b = 13,9

c) a - b = ™/1,5

d) a . b = 0,12

e) b = (4™)/3

 

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.

 

4. Em trigonometria, é verdade:

 

(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro quadrante, então cos (x/2) = -1/5.

(02) se x + y = ™/3, então cos(3x - 3y) = 2 sen£3y - 1.

(04) Existe x Æ [™/4, 5™/2], tal que sen£x + 3 cosx = 3.

(08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x.

(16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o triângulo é retângulo.

 

Soma (          )

 

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Cesgranrio 2000) Uma quadra de tênis tem 23,7m de comprimento por 10,9m de largura. Na figura a seguir, está representado o momento em que um dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa por cima da rede e toca o campo adversário no ponto C, a 17m do ponto B.

 

5.

 

Tendo em vista os dados apresentados, é possível afirmar que o ângulo ‘, representado na figura, mede:

a) entre 75° e 90°.

b) entre 60° e 75°.

c) entre 45° e 60°.

d) entre 30° e 45°.

e) menos de 30°.

 

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.

(Ufpe 2004) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado, em bilhões de dólares, por

            P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(™x/6)

onde x é um inteiro não negativo.

 

6. Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do país em 2004.

 

7. Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) é constante. Determine esta constante (em bilhões de dólares).

 

8. (Uff 2004) No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt.

A pressão interpleural (pressão existente na caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a).

As constantes a, L, M e w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.

(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)

 

Um possível gráfico de P, em função de t, é:

 

 

 

9. (Unirio 2000) Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco é um ângulo ‘ tal que:

a) 60° < ‘ < 90°

b) 45° < ‘ < 60°

c) 30° < ‘ < 45°

d) 15° < ‘ < 30°

e) 0° < ‘ < 15°

 

10. (Unifesp 2004) Considere a reta de equação 4x - 3y + 15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P = (™/2, 3), conforme a figura.

 

 

A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é:

a) (12 + 2™)/5

b) (13 + 2™)/5

c) (14 + 2™)/5

d) (15 + 2™)/5

e) (16 + 2™)/5

 

11. (Ufv 2002) Sejam as funções reais f e g dadas por:

 

 

É CORRETO afirmar que:

 

a) f(™/4) < g(™/3)

b) f(™/6) < g(™/4)

c) f(™) . g(0) = 2

d) f(0) . g(™) = - 2

e) f(™) . g(™) = 2

 

12. (Ufal 2000) O mais amplo domínio real da função definida por y=log[sen(x)] é o conjunto dos números reais x tais que, para todo k Æ Z,

a) -k™ < x < k™

b) k™ < x < (k - 1)™

c) k™ < x < (k + 1)™

d) 2k™ < x < (2k - 1)™

e) 2k™ < x < (2k + 1)™

 

13. (Fuvest 94) O valor de (tg 10°+cotg 10°)sen 20° é:

a) 1/2

b) 1

c) 2

d) 5/2

e) 4

 

14. (Fuvest 95) Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é:

a) 0,2.

b) 0,4.

c) 0,6.

d) 0,8.

e) 1,0.

 

15. (Fuvest 95) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x real, é:

a) 1/6.

b) 1/4.

c) 1/2.

d) 1.

e) 3.

 

16. (Ita 95) Seja a função f: RëR definida por:

 

 

onde a > 0 é uma constante. Considere K={yÆR;f(y)=0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f(™/2) Æ K?

a) ™/4

b) ™/2

c) ™

d) ™£/2

e) ™£

 

17. (Ita 95) A expressão sen š/(1+cosš), 0<š<™, é idêntica a:

a) sec (š/2)

b) cosec (š/2)

c) cotg (š/2)

d) tg (š/2)

e) cos (š/2)

 

18. (Fuvest 95) Considere a função f(x)=senx+ sen5x.

a) Determine as constantes k, m e n tais que f(x)=k.sen(mx).cos(nx)

b) Determine os valores de x, 0´x´™, tais que f(x)=0.

 

19. (Unicamp 95) Encontre todas as soluções do sistema:

 

ýsen (x+y) =0

þ

ÿsen (x-y) =0

 

que satisfaçam 0 ´ x ´ ™ e 0 ´ y ´ ™.

 

20. (Unitau 95) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im=[-1, 1] e período ™ que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir:

 

 

a) y = 1 + cos x.

b) y = 1 - sen x.

c) y = sen (-2x).

d) y = cos (-2x).

e) y = - cos x.

 

21. (Unitau 95) O período da função y=sen(™Ë2.x) é:

a) Ë2/2.

b) ˙/2.

c) ™/2.

d) Ë2.

e) 2Ë2.

 

22. (Fuvest 91) A equação f(x)= -10 tem solução real se f(x) é:

a) 2Ñ

b) log³(| x | + 1)

c) sen x

d) tg x

e) x£ + 2x - 4

 

23. (Fuvest 91) No estudo do Cálculo Diferencial e Integral, prova-se que a função cos x (co-seno do ângulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:

 

f(x) = 1 - (x£/2) ´ cos x ´1 - (x£/2) + (x¥/24) = g(x)

 

a) Calcule o co-seno de 0,3 radianos usando f(x) como aproximação de cos x.

b) Prove que o erro na aproximação anterior é inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado é exato até a segunda casa decimal.

 

24. (Unicamp 92) Para medir a largura åè de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60°; determinou o ponto D no prolongamento de èå de forma que o ângulo CBD fosse de 90°. Medindo åî=40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.

 

 

 

25. (Fuvest 93) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot forma um ângulo ‘ com o semi-eixo Ox (0°<‘<90°) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente.

 

A área do ÐTAB, como função de ‘, é dada por:

a) (1 - sen‘) . (cos‘)/2.

b) (1 - cos‘) . (sen‘)/2.

c) (1 - sen‘) . (tg‘)/2.

d) (1 - sen‘) . (cotg‘)/2.

e) (1 - sen‘) . (sen‘)/2.

 

26. (Fuvest 93) O valor máximo da função f(x)=3cos x+2sen x para x real é:

a) Ë2/2

b) 3

c) 5Ë2/2

d) Ë13

e) 5

 

27. (Cesgranrio 95) Se senx - cosx = 1/2, o valor de senx cosx é igual a:

a) - 3/16

b) - 3/8

c) 3/8

d) 3/4

e) 3/2

 

28. (Fuvest 96) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:

 

 

a) sen x

b) 2 sen (x/2)

c) 2 sen x

d) 2 sen 2x

e) sen 2x

 

29. (Fuvest 96) Considere a função

 

f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).

 

a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,™].

b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y=8/5?

Explique sua resposta.

 

30. (Cesgranrio 94) Se x é ângulo agudo, tg (90°+x) é igual a:

a) tg x

b) cot x

c) - tg x

d) - cot x

e) 1 + tg x

 

31. (Ufes 96) O gráfico da função f(x)= cosx + |cos x|, para x Æ [0, 2™] é:

 

 

 

32. (Fatec 96) Se sen 2x=1/2, então tg x+cotg x é igual a:

a) 8

b) 6

c) 4

d) 2

e) 1

 

33. (Fei 94) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que ™ < x < 3™/2, podemos afirmar que:

a) cotg(x) = - 5/12

b) sec(x) = 13/5

c) cos(x) = - 5/13

d) sen(x) = 12/13

e) nenhuma anterior é correta

 

34. (Fei 95) Dado o trapézio conforme a figura a seguir, o valor do seno do ângulo ‘ é:

 

 

a) 0,8

b) 0,7

c) 0,6

d) 0,5

e) 0,4333...

 

35. (Ita 96) Seja ‘ Æ [0, ™/2], tal que sen‘+cos‘=m.

Então, o valor de y=sen2‘/(sen¤‘+cos¤‘) será:

a) 2(m£ - 1)/m(4 - m£)

b) 2(m£ + 1)/m(4 + m£)

c) 2(m£ - 1)/m(3 - m£)

d) 2(m£ - 1)/m(3 + m£)

e) 2(m£ + 1)/m(3 - m£)

 

36. (Puccamp 95) Observe o gráfico a seguir.

 

A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é

a) y = cos x

b) y = sen x

c) y = cos 2x

d) y = sen 2x

e) y = 2 sen x

 

37. (Unicamp 96) Ache todos os valores de x, no intervalo [0, 2™], para os quais

 

 

 

38. (Uel 94) O valor expressão

 

cos (2™/3) + sen (3™/2) + tg (5™/4) é

 

a) (Ë2-3)/2

b) -1/2

c) 0

d) 1/2

e) Ë3/2

 

39. (Uel 96) O valor da expressão

 

[sen(8™/3) - cos(5™)] / tg(13™/6) é

 

a) ( 3 + 2Ë3 )/2

b) ( 3Ë2 + 2Ë3 )/2

c) 3 + 2Ë3

d) 3Ë2 + 2Ë3

e) 3( Ë2 + Ë3 )

 

40. (Ufmg 94) Observe a figura.

 

 

Nessa figura, estão representados os gráficos das funções f e g.

Se h (x) = [f (2x) + g (2x + a)] / f (g(x)), então o valor de h(a) é

a) 1 + a

b) 1 + 3a

c) 4/3

d) 2

e) 5/2

 

41. (Unesp 90) Pode-se afirmar que existem valores de x Æ R para os quais cos¥x - sen¥x é DIFERENTE de:

a) 1 - 2sen£x

b) cos£x - sen£x

c) (1/2) + (1/2) cos£2x

d) 2cos£x - 1

e) cos 2x

 

42. (Unesp 96) Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois ângulos, x e y, são tais que

(cos x/cos y) = (1 + Ë3)/2, a diferença entre as medidas de x e y é

a) 5°

b) 15°

c) 20°

d) 25°

e) 30°

 

43. (Pucsp 96) O gráfico seguinte corresponde a uma das funções de IR em IR a seguir definidas. A qual delas?

 

 

a) f(x) = sen 2x + 1

b) f(x) = 2 sen x

c) f(x) = cos x + 1

d) f(x) = 2 sen 2x

e) f(x) = 2 cos x + 1

 

44. (Mackenzie 96) I) sen 2 > sen 3

II) sen 1 >  sen 30°

III) cos 2 > cos 3

 

Relativamente às desigualdades acima, é correto afirmar que:

a) todas são verdadeiras.

b) todas são falsas.

c) somente I e II são verdadeiras.

d) somente II e III são verdadeiras.

e) somente I e III são verdadeiras.

 

45. (Faap 96) Uma placa publicitária de altura h metros está colocada no alto de um edifício com a sua parte inferior a y metros acima do nível do olho do observador, conforme a figura a seguir:

 

 

A altura h (em metros) da placa publicitária pode ser expressa:

a) h = d (tg ‘ - tg ’)

b) h = d tg ‘

c) h = tg (‘ - ’)/d

d) h = d (sen ‘ + cos ‘)

e) h = d tg ’/2

 

46. (Faap 96) Uma placa publicitária de altura h metros está colocada no alto de um edifício com a sua parte inferior a y metros acima do nível do olho do observador, conforme a figura a seguir:

 

 

Para o nível do olho do observador a 1,70 metros acima do nível do solo, ‘ = ™/3 e d = 10 metros, a altura do prédio (em metros) é

a) (10Ë3)/3 + 1,70

b) 10Ë3 + 1,70

c) 6,70

d) (10Ë3)/2 + 1,70

e) 15,0

 

47. (Mackenzie 96) I - Se 0 < x < ™/2, então os pontos (sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre são vértices de um triângulo.

II - Se a e b são números reais tais que a > b > 0, então as retas x - ay + a£ = 0 e x + by + b£ = 0 nunca são paralelas.

III - A reta x + y - 5Ë2 = 0 é tangente à curva

x£ + y£ - 25 = 0.

 

Relativamente às afirmações acima, podemos afirmar que:

a) somente I e II são verdadeiras.

b) somente I e III são verdadeiras.

c) somente II e III são verdadeiras.

d) todas são falsas.

e) todas são verdadeiras.

 

48. (Faap 96) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele.

 

 

O valor de y (em metros) em função de š:

a) y = 3 sen š

b) y = 3 sen š + 3

c) y = 3 tg š

d) y = 3 cos š

e) impossível de ser determinado

 

49. (Faap 96) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele.

 

 

Para š = ™/3, o valor de y (em metros) é:

a) 3Ë3/2

b) 3/2

c) 3Ë2/2

d) 3

e) impossível de ser determinado

 

50. (Faap 96) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele.

 

 

Para š = ™/3, o valor de x (em metros) é:

a) 3Ë3/2

b) 5/2

c) 3/2

d) 3

e) impossível de ser determinado

 

51. (Faap 96) Num trabalho prático de Topografia, um estudante de engenharia Civil da FAAP deve determinar a altura de um prédio situado em terreno plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do terreno, o topo do prédio é visto sob ângulo de 60°. Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifício, seu topo para a ser visto sob ângulo de 45°. Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do edifício (em metros) é:

a) 10(Ë3) + 1

b) [(Ë3)/3] + 10

c) (10Ë3)/(Ë3 - 1)

d) (3/Ë3)/(10 + Ë3)

e) (10 + Ë3)/3

 

52. (Faap 96) Considerando 0 ´ x ´ 2™, o gráfico a seguir corresponde a:

 

 

a) y = sen (x + 1)

b) y = 1 + sen x

c) y = sen x + cos x

d) y = sen£ x + cos£ x

e) y = 1 - cos x

 

53. (Ufpe 95) Considere a função f:(0, 49™/2) ë IR definida por f(x)=(1/x)-sen x. O gráfico de f intercepta o eixo das abcissas Ox em exatamente n pontos distintos. Determine n.

 

54. (Ufpe 95) Considere a função f(x)=sen(x£+2), definida para x real. Analise as seguintes afirmações:

 

(     ) f é uma função periódica.

(     ) f é uma função par.

(     ) f(x)=0 exatamente para 32 valores distintos de x no intervalo [0,10].

(     ) f(x)=2+sen£x para todo x Æ IR.

(     ) A imagem de f é o intervalo [1,3].

 

55. (Ufpe 95) Comparando as áreas do triângulo OAB, do setor circular OAB e do triângulo OAC da figura a seguir, onde 0<š<™/2, temos:

 

 

 

(     ) senš < š < tanš;

(     ) (senš)/š < cosš < 1;

(     ) cosš < (senš)/š < 1;

(     ) cosš > (senš)/š > tanš;

(     ) (1/2)cosš < (1/2)™š < (1/2)senš;

 

56. (Fuvest 89) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula:

tg2x = 2tgx/(1-tg£x).

Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30'.

a) 0,22

b) 0,41

c) 0,50

d) 0,72

e) 1,00

 

57. (Uel 95) Seja x a medida de um arco em radianos. O números real a, que satisfaz as sentenças sen x =  Ë(3 - a) e cos x = (a - 2)/2 é tal que

a) a µ 7

b) 5 ´ a < 7

c) 3 ´ a < 5

d) 0 ´ a < 3

e) a < 0

 

58. (Uel 95) A expressão cos [(3™/2) + x] é equivalente a

a) -sen x

b) -cos x

c) sen x.cos x

d) cos x

e) sen x

 

59. (Uel 95) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x) está definida se, e somente se,

a) x é um número real qualquer.

b) x · 2k™, onde k Æ Z

c) x · k™, onde k Æ Z

d) x · k™/2, onde k Æ Z

e) x · k™/4, onde k Æ Z

 

60. (Fuvest 97) Sendo sen ‘ = 9/10, com 0 < ‘ < ™/2, tem-se

a) sen ‘ < sen ™/3 < sen 2‘

b) sen ™/3 < sen ‘ < sen 2‘

c) sen ‘ < sen 2‘ < sen ™/3

d) sen 2‘ < sen ™/3 < sen ‘

e) sen 2‘ < sen ‘ < sen ™/3

 

61. (Cesgranrio 93) Entre as funções reais a seguir, aquela cujo gráfico é simétrico em relação à origem é:

a) f(x) = x¤+1

b) f(x) = |x|

c) f(x) = eÑ

d) f(x) = sen x

e) f(x) = cos x

 

62. (Cesgranrio 93) Se sen x=2/3, o valor de tg£x é:

a) 0,6

b) 0,7

c) 0,8

d) 0,9

e) 1

 

63. (Fatec 97) Considerando as funções trigonométricas definidas por f(x) = 2senx, g(x) = sen2x e

h(x) = 2 + senx, tem-se

a) f(x) > h(x), para todo x Æ IR.

b) g(x) ´ h(x), para todo x Æ IR.

c) f(x) e g(x) têm períodos iguais.

d) f(x) e h(x) têm períodos diferentes.

e) g(x) ´ senx ´ f(x), para todo x Æ IR.

 

64. (Mackenzie 96) Em [0, 2™], o número de soluções reais de f(x)=sen2x é:

 

 

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

 

65. (Fei 97) Sobre a função f(x) = |senx| é válido afirmar-se que:

a) f (x) = f (2x)

b) f (-x) = -f (x)

c) f (x) = f (x + ™)

d) f (x) = f (x + ™/2)

e) f (x) = f (x - ™/2)

 

66. (Cesgranrio 90) Se o cos x = 3/5 e -™/2 < x < 0, então tg x vale:

a) -4/3.

b) -3/4.

c) 5/3.

d) 7/4.

e) -7/4.

 

67. (Mackenzie 97) f(x) = sen x + cos x e f‚(x) = 3 sen x cos x

 

Relativamente às funções anteriores, de domínio IR, fazem-se as afirmações.

 

I- O período de f(x) é 2™

II- O maior valor que f‚(x) pode assumir é 1,5.

III- O conjunto imagem de f(x) está contido no conjunto imagem de f‚(x)

 

Então:

a) todas são verdadeiras.

b) somente II e III são verdadeiras.

c) somente I e III são verdadeiras.

d) somente I e II são verdadeiras.

e) somente III é verdadeira.

 

68. (Cesgranrio 91) Se tgx = Ë5, então sen£x é igual a:

a) 1/6.

b) 1/5.

c) Ë3/4.

d) 3/5.

e) 5/6.

 

69. (Uff 97) Para š = 89°, conclui-se que:

a) tg š < sen š < cos š

b) cos š < sen š < tg š

c) sen š < cos š < tg š

d) cos š < tg š < sen š

e) sen š < tg š < cos š

 

70. (Fuvest 98) Qual das afirmações a seguir é verdadeira ?

a) sen 210° < cos 210° < tg 210°

b) cos 210° < sen 210° < tg 210°

c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210°

d) tg 210° < cos 210° < sen 210°

e) sen 210° < tg 210° < cos 210°

 

71. (Pucmg 97) Na expressão M = Ë(cos 2x - sen 2x + 2sen£ x), 0<x<™/4. O valor de M é:

a) cos x + sen x

b) sen x - cos x

c) cos x - sen x

d) 1 - sen 2 x

e) 1

 

72. (Pucmg 97) A soma das raízes da questão cosx+cos£x=0, 0  ´ x  ´ 2 ™, em radianos, é:

a) ™

b) 2 ™

c) 3 ™

d) 4 ™

e) 5 ™

 

73. (Unesp 98) Sabe-se que h é o menor número positivo para o qual o gráfico de y = sen (x -h) é

 

 

Então, cos (2h/3) é igual a:

a) - (Ë3)/2.

b) - (Ë2)/2.

c) -1/2.

d) 1/2.

e) (Ë3)/2.

 

74. (Ufrs 97) O gráfico a seguir representa a função real f.

 

 

Esta função é dada por:

a) f(x) = 1 - cos x

b) f(x) = 1 + cos x

c) f(x) = cos (x +1)

d) f(x) = cos (x - 1)

e) f(x) = cos (x + ™)

 

75. (Cesgranrio 98) O valor da expressão

P=1 - 4sen£x + 6sen¥x - 4sen§x + sen©x é igual a:

a) cos¥x

b) cos©x

c) sen£x

d) 1

e) 0

 

76. (Cesgranrio 98) Considerando sen x = (1/2) . sen(25™/6), o valor de cos 2x será:

a) 7/8

b) 5/8

c) 3/8

d) 3/4

e) 1/2

 

77. (Mackenzie 97) Em [0, 2™], a melhor representação gráfica da função real definida por f(x)=(2-sen£x-sen¥x)/(3-cos£x) é:

 

 

 

78. (Mackenzie 97) Dentre os valores a seguir, assinale aquele que mais se aproxima de sen 6 + tg 3.

a) - 0,4

b) - ™

c) - ™/2

d) 1

e) 0,5

 

79. (Fuvest 98) a) Expresse sen 3‘ em função de sen ‘.

b) Resolva a inequação sen3‘>2sen‘ para 0<‘<™.

 

80. (Unb 97) A função U, definida por U(t) = r cos (Ÿt - š), descreve o deslocamento, no tempo t, de um bloco de massa m, preso na extremidade de uma mola, em relação à posição de equilíbrio, conforme a figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é aquela em que U(t) = 0. A constante Ÿ depende apenas da mola e da massa m. As constantes r e š dependem da maneira como o sistema é colocado em movimento.

 

 

Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.

 

(1) A função U tem período igual a (2™ - š).

(2) No instante t= 2™/Ÿ, o bloco está novamente na posição inicial.

(3) O maior deslocamento do bloco, em relação à posição de equilíbrio, é igual a r.

(4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha duração igual a 4™/3Ÿ, o bloco passa pela posição de equilíbrio.

 

81. (Unesp 99) Considere as funções f(y) = Ë(1 - y£), para y Æ IR, -1 ´ y ´ 1, e g(x) = cos x, para x Æ IR. O número de soluções da equação (f o g)(x) = 1, para 0 ´ x ´ 2™, é

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

 

82. (Fuvest 99) Se ‘ é um ângulo tal que 0 < ‘ < ™/2 e sen‘ = a, então tg(™-‘) é igual a

a) - a/Ë(1 - a£)

b) a/Ë(1 - a£)

c) [Ë (1 - a£)]/a

d) [- Ë (1 - a£)]/a

e) - (1 + a£)/a

 

83. (Mackenzie 98) Se k e p são números naturais não nulos tais que o conjunto imagem da função f(x)=2k+p.cos(px+k) é [-2, 8], então o período de f(x) é:

a) ™/7

b) 2™/7

c) 2™/3

d) ™/5

e) 2™/5

 

84. (Mackenzie 98) A função real definida por f(x)=k.cos(px), k>0 e pÆIR tem período 7™ e conjunto imagem [-7,7]. Então, k.p vale:

a) 7

b) 7/2

c) 2

d) 2/7

e) 14

 

85. (Unirio 98) Sobre o gráfico a seguir, que representa uma senóide, faça um esboço do gráfico da função

f: IR ë IR/f(x) = sen [x - (™/2)] + 2.

 

 

 

86. (Unb 98) Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar F na traquéia, em ambos os sentidos - inspiração e expiração -, e a pressão interpleural P - pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos intercostais - são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t > 0, por

 

ý F (t) = A sen (Ÿt)

þ

ÿ P (t) = C - B F [t + (k/Ÿ)],

 

em que k, A, B, C são constantes reais positivas e Ÿ é a frequência respiratória.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

 

(1) O fluxo máximo de ar na traquéia é igual a A.

(2) P (t) = C - BA sen (Ÿt + k).

(3) As funções P e F têm o mesmo período.

(4) Sempre que o fluxo de ar na traquéia for nulo, a pressão interpleural será máxima.

 

87. (Puccamp 98) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por f(x)=k.cos(tx).

 

 

Nessas condições, calculando-se k-t obtém-se

a) -3/2

b) -1

c) 0

d) 3/2

e) 5/2

 

88. (Ufrs 98) Considere um círculo de raio 1 com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Um ponto P desloca-se sobre esse círculo, em sentido horário e com velocidade constante, perfazendo 2 voltas por segundo. Se no instante t=0 as coordenadas de P são x=1 e y=0, num instante t qualquer, dado em segundos, as coordenadas serão

a) x = - 2cos t e y = - 2sen t

b) x = cos 4™t e y = sen 4™t

c) x = cos 2t e y = - sen 2t

d) x = cos 4™t e y = - sen 4™t

e) x = cos 2™t e y = sen 2™t

 

89. (Unb 98) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em °C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm£) possam ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções

 

 

julgue os itens a seguir.

 

(1) A maior temperatura média semanal é de 22°C.

(2) Na 50.ò semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima.

(3) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal também é máxima.

 

90. (Puccamp 96) Sobre a função f, de IR em IR, definida por f(x)=cos 3x, é correto afirmar que

a) seu conjunto imagem é [-3; 3].

b) seu domínio é [0; 2™].

c) é crescente para x Æ [0; ™/2].

d) sua menor raiz positiva é ™/3.

e) seu período é 2™/3.

 

91. (Ufrs 96) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico

 

 

então

a) a = -2 e b = 1

b) a = -1 e b = 2

c) a = 1 e b = -1

d) a = 1 e b = -2

e) a = 2 e b = -1

 

92. (Puccamp 99) Na figura a seguir tem-se o gráfico de uma função f, de AÅIR em IR.

 

 

É correto afirmar que

a) f é crescente para todo x real tal que  ™/6<x<2™/3.

b) f é positiva para todo x real tal que 0<x<5™/12.

c) o conjunto imagem de f é IR - {0}.

d) o domínio de f é IR - {(™/2) + k™, com k Æ Z}

e) o período de f é ™/2.

 

93. (Ita 99) Seja a Æ IR com 0 < a < ™/2. A expressão {sen[(3™/4)+a]+sen[(3™/4)-a]}sen[(™/2)-a]

é idêntica a:

 

a) [(Ë2) cotg£a] / (1 + cotg£a)

b) [(Ë2) cotg a] / (1 + cotg£a)

c) (Ë2) / (1 + cotg£a)

d) (1 + 3cotg a) / 2

e) (1 + 2cotg a) / ( 1 + cotg a)

 

94. (Uff 99) A expressão cos(x+™)+sen[(™/2)+x]-tg(-x)+cotg x, em que 0<x<™/2, é equivalente a:

a) 2/sen2x

b) x

c) 2cos2x

d) (tg x)/x

e) x cotg x

 

95. (Uerj 99) Observe o gráfico da função f, que possui uma imagem f(x)=|2sen(2x)| para cada x real.

 

 

a) Sendo C o ponto de interseção do gráfico com o eixo x, D a origem e åæ tangente ao gráfico de f, calcule a área do retângulo ABCD.

 

b) Mostre graficamente que a equação |2sen(2x)|=x£ tem três soluções.

    Justifique a sua resposta.

 

96. (Uel 99) Para todo número real x, tal que 0 < x < ™/2 , a expressão (secx+tgx)/(cosx+cotgx) é equivalente a

a) (sen x) . (cotg x)

b) (sec x) . (cotg x)

c) (cos x) . (tg x)

d) (sec x) . (tg x)

e) (sen x) . (tg x)

 

97. (Uece 99) Se um ângulo é igual ao seu complemento, então o seno deste ângulo é igual a:

a) 1/2

b) (Ë2)/2

c) (Ë3)/2

d) 1

 

 

98. (Ufsm 99) Seja f: ]0, ™/2[ ë IR a função definida por

 

            f(x) = [sen(™+x)+tgx + cos(™/2 - x)]/cotgx.

 

Sabendo-se que senš = (Ë2)/3, com 0 < š < ™/2, então f(š) é igual a

a) (7Ë2)/2

b) 2/7

c) 7/2

d) 1

e) (Ë7)/2

 

99. (Ufsm 99) A função f(x) = sen x, x Æ IR, tem como gráfico a senóide que, no intervalo [0,2™], está representada na figura

 

 

Se g(x) = a sen 3x, onde a Æ IR e a · 0, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

 

(     ) O domínio da função g é igual ao domínio da função f, independente do valor de a.

(     ) Para todo a, o conjunto imagem da função f está contido no conjunto imagem da função g.

(     ) O período da função g é maior que o período da função f.

 

A seqüência correta é

a) V - F - F.

b) V - V - F.

c) F - V - V.

d) V - F - V.

e) F - V - F.

 

100. (Unioeste 99) Sobre a função f: IR ë R, dada por f(x)=3cos2x, é correto afirmar que

 

01. f(0)=0.

02. é uma função periódica de período 2™.

04. o maior valor que f(x) assume é 6.

08. para todo x, |f(x)|´3.

16. para todo x, f(x)=3-6sen£x.

32. para todo x, f(x)=f(-x).

 

101. (Unesp 2000) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC.

 

 

Assumindo o valor Ë3=1,7 e sabendo-se que AB=2km, BC=3km, DE=1km e FH=3,3km, determine

 

a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros;

 

b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do táxi é dado pela função y=4+0,8x sendo x a distância percorrida em quilômetros e y o valor da corrida em reais.

 

102. (Unesp 2000) Se x é a medida de um ângulo em radianos e

™/2<x<3™/4, então

a) cos x > 0.

b) cos 2x < 0.

c) tgx > 0.

d) sen x < 0.

e) sen 2x > 0.

 

103. (Ufsm 2000)

 

O gráfico representa a função

a) y = 2A (sen x + cos x)

b) y = (A/2) (sen(™/2)x + cos (™x/2)

c) y = -A cos [2™x + (™/2)]

d) y =  A sen  [(™x/2) - ™/2]

e) y =  A cos [(™x/2) + (3™/2)]

 

104. (Ufg 2000) Determine todos os valores de x no intervalo [0,2™], para os quais, cos x, sen x, [(Ë2)/2] tg x formem, nesta ordem, uma Progressão Geométrica.

 

105. (Ufsc 2000) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S):

 

01. Se tg x=3/4 e ™<x<3™/2, então o valor de senx-cosx é igual a 1/5.

02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressão senx=2m-5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para -™/4 ´ x ´ ™/4.

16. A medida em radianos de um arco de 225° é (11™)/(6rad).

32. Se sen x > 0, então cosec x < 0.

64. A solução da equação 2sen£x + 3sen x = 2 para 0´x´2™ é x=™/6 ou x=5™/6.

 

106. (Uff 2000) Considere os ângulos ‘, ’ e – conforme representados no círculo.

 

 

Pode-se afirmar que:

a) cos ‘ < cos ’

b) cos – > cos ‘

c) sen ‘ > sen ’

d) sen ’ < cos –

e) cos ’ < cos –

 

107. (Unirio 2000) Na figura a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero de lado Ø, ABDE e AFGC são quadrados. Calcule a distância DG, em função de Ø.

 

 

 

108. (Uff 2000) Dados os ângulos ‘ e ’ tais que ‘, ’ Æ [0, ™/2], cos‘=1/2 e cos’=(Ë3)/2, resolva a equação:

sen(x-‘)=sen(x-’)

 

109. (Unb 2000) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferência de centro na origem e de raio igual a 1. A cada ângulo central ‘ no intervalo [0,™], represente por A(‘) a área delimitada pelo arco da circunferência e o segmento de reta que liga os pontos P e Q, como ilustrado na figura a seguir.

 

 

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

 

(1) A área A é uma função crescente do ângulo central ‘.

(2) 1/4 < A(™/2) < 1/2

(3) A(‘) = 1/2(‘ - sen‘)

 

110. (Uepg 2001) Assinale o que for correto.

 

01) Se senx = 2k-4 , então {k Æ IR/1/2 ´ k ´ 3/2}

02) O domínio da função f(x) = secx é D = {xÆIR/x·k™, com kÆZ}

04) O valor mínimo da função f(x) = 2+5cos3x é -3

08) O período da função f(x) = cos(4x/5) é 5™/4rd

16) A imagem da função f(x) = cossec x é o intervalo (-¶,-1]»[1,+¶)

 

111. (Fuvest 2001) O quadrado adiante tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadrado, seja š o ângulo MÔX, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a distância de O a X, em função de š, é:

 

 

 

112. (Unifesp 2002) Seja a função f: IR ë IR, dada por f(x) = sen x.

Considere as afirmações seguintes.

 

1. A função f(x) é uma função par, isto é, f(x)=f(-x), para todo x real.

2. A função f(x) é periódica de período 2™, isto é, f(x+2™)=f(x), para todo x real.

3. A função f(x) é sobrejetora.

4. f(0) = 0, f(™/3) = (Ë3)/2 e f(™/2) = 1.

 

São verdadeiras as afirmações

a) 1 e 3, apenas.

b) 3 e 4, apenas.

c) 2 e 4, apenas.

d) 1, 2 e 3, apenas.

e) 1, 2, 3 e 4.

 

113. (Fatec 2002) O gráfico que melhor representa a função f, de IR em IR, definida por f(x)=cosx - senx está na alternativa:

 

Dados:

cos a - cos b = - 2 sen [(a+b)/2] sen [(a-b)/2]

sen a - sen b = 2 sen [(a-b)/2] cos [(a+b)/2]

 

 

 

114. (Ita 2002) Seja f: IR ë P (IR) dada por

 

                        f(x) = {y Æ IR; sen y < x}.

 

Se A é tal que f(x) = IR, ¯ x Æ A, então

a) A = [-1, 1].

b) A = [a, ¶), ¯ a > 1.

c) A = [a, ¶), ¯ a µ 1.

d) A = (-¶, a], ¯ a < -1.

e) A = (-¶, a], ¯ a ´ -1.

 

115. (Ufv 2001) Se f é a função real dada por f(x)= 2 - cos (4x), então é CORRETO afirmar que:

a) f(x) ´ 3 e f(x) µ 1, para todo x Æ IR.

b) o gráfico de f intercepta o eixo dos x.

c) f(x) ´ 2 para todo x Æ IR.

d) f(2) < 0.

e) f(x) µ 3/2 para todo x Æ IR.

 

116. (Ufu 2001) Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x) = (cos x)§ + (sen x)§ pode assumir.

 

Observação:

 

Lembre-se de que a¤+b¤=(a+b)((a+b)£ - 3ab).

 

117. (Pucpr 2001) Se f(x) = sen x, x Æ IR,

então:

 

a) 0 < f(6) < 1/2

b) -1/2 < f(6) < 0

c) -1 < f(6) < -1/2

d) 1/2 < f(6) < -1/2

e) -(Ë3)/2 < f(6) < -1/2

 

118. (Puc-rio 2001) a) Esboce os gráficos de y=sen(x) e de y=cos(x).

 

b) Para quantos valores de x entre 0 e 2™ temos sen(x)=2cos(x)?

 

119. (Uel 2001) O gráfico abaixo corresponde à função:

a) y = 2 sen x

b) y = sen (2x)

c) y = sen x + 2

d) y = sen (x/2)

e) y = sen (4x)

 

 

 

120. (Ufrrj 2001) Determine os valores reais de k, de modo que a equação 2-3cosx=k-4 admita solução.


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GABARITO

 

1. V F F F

 

2. V F V

 

3. [A]

 

4. 02 + 04 + 16 = 22

 

5. [A]

 

6. 492 bilhões de dólares.

 

7. 6

 

8. [D]

 

9. [A]

 

10. [E]

 

11. [A]

 

12. [E]

 

13. [C]

 

14. [D]

 

15. [B]

 

16. [D]

 

17. [D]

 

18. a) (k,m,n) Æ {(2,3,-2); (2,3,2); (-2,-3,-2); (-2,-3, 2)}

b) {0, ™/4, ™/3, 2™/3, 3™/4 e ™}

 

19. V = { (0, 0), (0, ™), (™, 0), (™, ™), (™/2, ™/2) }

 

20. [C]

 

21. [D]

 

22. [D]

 

23. a) f (0,3) = 0,955

 

b) 0,955 ´ cos 0,3 ´ 0,955 + 0,0003375 Ì

Ì 0 ´ cos 0,3 - 0,955 ´ 0,0003375 < 0,001, logo o erro é inferior a 0,001.

Como 0,9550 ´ cos 0,3 < 0,9554, o valor calculado é exato até a terceira casa decimal, portanto é exato até a segunda casa decimal.

 

24. AC = 120 m

 

25. [D]

 

26. [D]

 

27. [C]

 

28. [B]

 

29. a) V = { 0; ™/9; ™/2; 5™/9; 7™/9; ™ }

b) O maior valor da f é menor do que 8/5, portanto a reta de equação y=8/5 não intercepta o gráfico da função.

 

30. [D]

 

31. [A]

 

32. [C]

 

33. [C]

 

34. [A]

 

35. [C]

 

36. [D]

 

37. V = { ™/6, ™/3 }

 

38. [B]

 

39. [A]

 

40. [D]

 

41. [C]

 

42. [E]

 

43. [A]

 

44. [A]

 

45. [A]

 

46. [B]

 

47. [E]

 

48. [D]

 

49. [B]

 

50. [A]

 

51. [C]

 

52. [B]

 

53. 25

 

54. F V V F F

 

55. V F V F F

 

56. [B]

 

57. [D]

 

58. [E]

 

59. [D]

 

60. [D]

 

61. [D]

 

62. [C]

 

63. [B]

 

64. [A]

 

65. [C]

 

66. [A]

 

67. [A]

 

68. [E]

 

69. [B]

 

70. [B]

 

71. [C]

 

72. [C]

 

73. [C]

 

74. [B]

 

75. [B]

 

76. [A]

 

77. [B]

 

78. [A]

 

79. a) 3.sen ‘ - 4 . sen¤‘

 

b) S = {‘ Æ IR | 0 < ™/6 ou 5™/6 < ‘ < ™}

 

80. F V V V

 

81. [C]

 

82. [A]

 

83. [E]

 

84. [C]

 

85. Observe a figura a seguir.

 

 

 

86. V V V F

 

87. [D]

 

88. [D]

 

89. V V F

 

90. [E]

 

91. [D]

 

92. [E]

 

93. [A]

 

94. [A]

 

95. a) Área (ABCD) = 2™

 

b) Observe o gráfico a seguir

 

 

A interseção do gráfico de f com o da função y=x£ é um conjunto de três pontos, logo essa equação tem 3 raízes.

 

96. [D]

 

97. [B]

 

98. [B]

 

99. [A]

 

100. F F F V V V

 

101. a) BD = 4 km e EF = 1,7 km

b) R$13,60

 

102. [B]

 

103. [E]

 

104. x Æ {0; ™/4; 3™/4; ™; 2™}

 

105. 01 + 02 + 04 + 64 = 71

 

106. [E]

 

107. Ø (Ë3 + 1)

 

108. x = k™ - ™/4, k Æ Z

 

109. V V V

 

110. 20

 

111. [A]

 

112. [C]

 

113. [E]

 

114. [B]

 

115. [A]

 

116. 1/4 ´ f(x) ´ 1

 

117. [B]

 

118. a) Observe o gráfico a seguir:

 

 

 

b) Para dois valores.

 

119. [A]

 

120. 3 ´ k ´ 9