GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 7

 

1. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4).

a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A.

b) Calcule a área do triângulo ABC.

 

2. (Fuvest 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente,

a) determine a equação de s.

b) calcule a área do triângulo ABC.

 

3. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo ‘ mede 120°.

 

 

a) Determine o raio da circunferência circunscrita.

b) Determine a área do polígono.

 

4. (Ufrj 97) No círculo a seguir, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC=CD=DE=EB.

 

 

Determine S/S‚ a razão entre as áreas hachuradas.

 

5. (Ufrj 97) Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.

 

 

Determine x.

 

6. (Ufrj 98) Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.

Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

 

 

Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc.

 

7. (Ufrj 98) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:

 

 

A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II.

Calcule a distância entre os pontos A e B.

 

8. (Unb 96) Uma sala quadrada, de 6 m de lado, tem seu piso em madeira, feito de tábuas colocadas em faixas diagonais. A largura da tábua utilizada foi calculada de modo a dividir cada lado da sala em 60 partes iguais, conforme mostra a figura adiante. Para o preenchimento do espaço de cada faixa diagonal, utilizou-se uma tábua retangular com comprimento suficiente apenas para preencher tal espaço, desprezando-se as sobras.

 

 

Usando, para Ë2, o valor aproximado de 7/5, calcule, em decâmetros lineares, a quantidade de madeira utilizada no piso, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

 

9. (Unb 98)

 

 

Na situação representada na figura, determine os pontos sobre a reta Ø distantes 7,5cm de A. Entre esses pontos, escolha aquele que determina com A e B o triângulo de maior área. Considerando sen 41° = 0,6, calcule em cm£, área desse triângulo, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

 

10. (Unicamp 97) O retângulo de uma Bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de verde, mede 2m de comprimento por 1,40m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17cm dos lados do retângulo, e o raio do círculo mede 35cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A = ™ r£ e, para facilitar os cálculos, tome ™ como 22 / 7.

a) Qual é a área da região pintada de verde?

b) Qual é a porcentagem de área da região pintada de amarelo, em relação à área total da Bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.

 

11. (Unicamp 98) Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13cm.

a) Calcule a área desse triângulo.

b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

 

12. (Ita 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm£, vale:

a) 36/5

b) 27/4

c) 44/3

d) 48/3

e) 48/5

 

13. (Cesgranrio 90) Se, no trapézio retângulo ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e  ‘=™/3, então a sua área vale:

a) 3(3 + Ë3/2).

b) 3(5 - Ë3/2).

c) 3(4 + Ë2/3).

d) 3(5 - Ë2/3).

e) 6(3 - Ë2/3).

 

 

 

14. (Cesgranrio 91) O triângulo ABC está inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e cujos ângulos satisfazem a condição ï=2ð, conforme se vê na figura. A área desse triângulo ABC vale:

 

 

a) (3Ë3)/8.

b) (2Ë3)/5.

c) Ë(3)/5.

d) Ë(3)/6.

e) Ë(3)/8.

 

15. (Cesgranrio 91) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale:

 

 

a) 42.

b) 36.

c) 32.

d) 30.

e) 28.

 

16. (Cesgranrio 92) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11m e 3m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente,

 

 

a) 25 m£

b) 34 m£

c) 37 m£

d) 41 m£

e) 61 m£

 

17. (Cesgranrio 98) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabe-se que BC=5cm, AC=10cm e que os pontos A e B são diametralmente opostos. A área do círculo determinado por esta circunferência, em cm£, é igual a:

a) 125™/8

b) 125™/4

c) 125™/2

d) 125™

e) 250™

 

18. (Fatec 97) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito num triângulo retângulo ABC, reto em Â.

 

 

Se os catetos do triângulo medem 3cm e 4cm, então a área do quadrado, em centímetros quadrados, é igual a

a) 169/49

b) 144/49

c) 100/49

d) 81/49

e) 25/49

 

19. (Fatec 98) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°

A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a

a) 3/4 . (™ - Ë2/2)

b) 3/2 . (™/4 - Ë3)

c) 9/4 . (™/2 - Ë2)

d) 9/2 . (™/4 - Ë2)

e) 9/2 . (™/2 - 1)

 

 

 

20. (Fei 97) Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y?

 

 

a) x = 30 cm, y = 20 cm

b) x = 40 cm, y = 30 cm

c) x = 30Ë2 cm, y = 20Ë2 cm

d) x = 20Ë2 cm, y = 30Ë2 cm

e) x = 90Ë2 cm, y = 60Ë2 cm

 

21. (Fuvest 98) Considere o quadrado ABCD inscrito na semicircunferência de centro na origem. Se (x, y) são as coordenadas do ponto A, então a área da região exterior ao quadrado ABCD e interior à semicircunferência é igual a

 

 

a) ( 5™/2 - 4 ) x£

b) x£ + y£

c) ( 5™ - 4 ) x£

d) ( 5™/2 - 2 ) x£

e) ™x£ - y£

 

22. (Fuvest 99) Os quadrados da figura têm lados medindo 10cm e 20cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em cm£, é:

a) 25

b) 27

c) 30

d) 35

e) 40

 

 

 

23. (Fuvest 99) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas:

 

 

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a åæ. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá ser:

a) 31

b) 32

c) 33

d) 34

e) 35

 

24. (Ita 97) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2cm. Sejam ‘ e ’, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm£) igual a

a) 2sen£‘ cotg’ + sen 2‘

b) 2 sen£‘ tg ’ - sen 2‘

c) 2cos£‘ cotg ’ + sen 2‘

d) 2cos£‘ tg ’ + sen 2‘

e) 2sen£‘ tg ’ - cos 2‘

 

25. (Mackenzie 97) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 6, ‘ = arc tg 1/2 e C é ponto de tangência. Então a área do triângulo ABC é igual a:

 

 

a) 36

b) 38,4

c) 40

d) 40,5

e) 42

 

26. (Mackenzie 97) O eixo das abscissas, a reta x - 2 = 0 e os pontos (x, y) do plano tais que

 

ýx -1 + cos t = 0

þ

ÿy + 2 - 2cos t = 0;

 

0´ t ´™, limitam uma região de área:

a) 6

b) 2

c) 5/2

d) 4

e) 8

 

27. (Mackenzie 97) Na figura, tg’ = 2 - Ë3 e ‘ + ’ = 60°. Então a área do triângulo assinalado é:

 

 

a) 2 + Ë3

b) 1 + Ë3

c) (2+Ë3)/2

d) (4+Ë3)/2

e) (1+Ë3)/2

 

28. (Mackenzie 97) Os pontos (x, y) do plano tais que

 

ýy ´ 10, ¯x

þx µ 4, ¯y    

ÿy µ x + 2

 

definem uma região de área:

a) 12

b) 10

c) 8

d) 14

e) 16

 

29. (Mackenzie 97) O valor mais próximo da área da região assinalada a seguir é:

 

 

a) 30

b) 25

c) 20

d) 16

e) 18

 

30. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, supondo ™=3, a área do círculo inscrito no triângulo isósceles é 108. Então, a área da região assinalada é:

a) 72

b) 80

c) 84

d) 90

e) 96

 

 

 

31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do retângulo vale:

a) 4 + 4 Ë3

b) 8 + 4 Ë3

c) 8 + 8 Ë3

d) 4 + 8 Ë3

e) 8 + Ë3

 

 

 

32. (Puccamp 97) Na figura a seguir tem-se um terreno retangular no qual pretende-se construir um galpão cujo lado deve medir x metros.

 

 

Se a área da parte sombreada é 684 m£, o lado do galpão mede, em metros,

a) 8,5

b) 8

c) 7,5

d) 6

e) 4,5

 

33. (Puccamp 98) Um tanque tem a forma de um prisma reto de base quadrada e está totalmente cheio d'água. Se a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9m, quantos litros d'água devem ser retirados do seu interior para que o líquido restante ocupe os 2/3 de sua capacidade?

a) 120

b) 240

c) 1.200

d) 2.400

e) 12.000

 

34. (Puccamp 98) As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da banca aparecem na figura a seguir.

 

 

A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar 4m£. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para executar a tarefa é

a) 4 latas e meia.

b) 5 latas.

c) 5 latas mais 1/4 de lata.

d) 5 latas e meia.

e) 5 latas mais 3/4 de lata.

 

35. (Pucmg 97) A medida da área do quadrilátero ABCD, em unidades de área, é:

 

 

a) 10

b) 12

c) 14

d) 18

e) 24

 

36. (Pucmg 97) O comprimento de uma circunferência é o quádruplo do perímetro de um quadrado. A razão entre a área do quadrado e a área do círculo é:

a) ™/64

b) ™/72

c) ™/80

d) ™/120

e) ™/128

 

37. (Pucmg 97) As retas y = x + 1 e x = 2 formam, com os eixos coordenados, o trapézio OABC. A medida da área desse quadrilátero, em unidades de área, é:

 

 

a) 3,0

b) 3,5

c) 4,0

d) 4,5

e) 5,0

 

38. (Pucmg 97) Na figura, M é o ponto médio de AB, e MN é paralelo a AC. S é a medida da área do triângulo MBN, e S‚, a do triângulo ABC. O valor da razão S/S‚ é:

 

 

a) 1

b) 1/2

c) 1/3

d) 1/4

e) 1/5

 

39. (Uel 98) Considere todos os triângulos que têm dois lados de medida 2cm, formando um ângulo de medida x graus. O menor valor de x para o qual a área do triângulo é igual a Ë3cm£ é

a) 30

b) 45

c) 60

d) 75

e) 90

 

40. (Ufmg 97) Observe a figura.

 

 

Nela, circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é:

a) r£ (™ - 2)

b) 2r£ (™ - 1)

c) 2r£

d) r£ (™ - 1)

 

 

41. (Ufmg 97) Observe a figura.

 

 

Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C, C‚, Cƒ, C„, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C , C‚, Cƒ e C„ estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é:

a) 8™ (3+2Ë2)

b) ™ (3+2Ë2)

c) ™ (3-2Ë2)

d) 2™ (3-2Ë2)

 

 

42. (Ufmg 98) Observe a figura.

 

 

Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado 1, EF=FC=FB e DE=1/2.

A área do triângulo BCF é

a) 3/16

b) 1/5

c) 1/6

d) (Ë3)/4

 

 

43. (Ufmg 98) Observe a figura.

 

 

Nessa figura, está representando um canteiro retangular de 6 m de largura por 10 m de comprimento, cercado por um passeio de largura constante.

Se a área do passeio é de 36 m£, a medida de sua largura, em metros, é

a) 1,5

b) 1

c) 2

d) 0,5

 

 

44. (Ufrs 97) A altura de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência é 2Ë3cm. A razão entre a área desse triângulo e a área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é

a) Ë3/4

b) (3Ë3)/4

c) 3/8

d) Ë3/8

e) (3Ë3)/8

 

45. (Unb 97) Na figura adiante, ABCD é um paralelogramo, DQ é perpendicular à reta que contém BC e o segmento CP é perpendicular a AB.

 

 

Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

 

(1) A medida de AP é igual a 2 cm.

(2) O triângulo CDQ é semelhante ao triângulo BCP.

(3) A medida de DQ é igual a 8 cm.

(4) A área do trapézio ABQD  é igual a 144 cm£.

 

46. (Unesp 97) A figura foi obtida mediante rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e 300° aplicadas a um quadrado cujos lados medem 1dm, em torno de um mesmo vértice desse quadrado e num mesmo sentido.

 

 

A área da região escura é.

a) 1 - 2tg (15°).

b) tg (30°).

c) 1 - 4tg (15°).

d) 1 - tg (30°).

e) 1 - tg (15°).

 

47. (Unesp 97) A área de um triângulo isósceles é 4Ë15 dm£ e a altura desse triângulo, relativa à sua base, mede 2Ë15 dm. 0 perímetro desse triângulo é igual a

a) 16 dm.

b) 18 dm.

c) 20 dm.

d) 22 dm.

e) 23 dm.

 

48. (Unesp 98) Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA.

 

Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é

a) 2/3 dm.

b) 2/5 dm.

c) 3/5 dm.

d) 1/2 dm.

e) 4/7 dm.

 

49. (Unesp 99) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando ™ = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.

a) 1244.

b) 1256.

c) 1422.

d) 1424.

e) 1444.

 

50. (Unirio 96)

 

 

A área da figura hachurada é:

a) 100 m£

b) 132 m£

c) 140 m£

d) 144 m£

e) 156 m£

 

 


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GABARITO

 

1. a) (3Ë2)/2

b) 21/2

 

2. a) x - 2y = -3

b) 81/20

 

3. a) r = Ë(3/2)

b) A = 3 - Ë3

 

4. S/S‚ = 1

 

5. x = 1 ou x =2

 

6. Seja ‘ = BAC. Temos que Área(ABC)=(b×c×sen‘)/2

Da mesma forma, Área(ARS)=(p×q×sen‘)/2

Logo Área(ARS) / Área(ABC) = p . q / b . c

 

7. d = 5m

 

8. 51 dm

 

9. 37 cm£

 

10. a) 19202 cm£

b) 17,67 %

 

11. a) 30 cm£

b) 2 cm

 

12. [E]

 

13. [A]

 

14. [E]

 

15. [B]

 

16. [C]

 

17. [B]

 

18. [B]

 

19. [C]

 

20. [C]

 

21. [A]

 

22. [A]

 

23. [D]

 

24. [A]

 

25. [B]

 

26. [D]

 

27. [E]

 

28. [C]

 

29. [D]

 

30. [C]

 

31. [B]

 

32. [D]

 

33. [C]

 

34. [C]

 

35. [B]

 

36. [A]

 

37. [C]

 

38. [D]

 

39. [C]

 

40. [A]

 

41. [D]

 

42. [A]

 

43. [B]

 

44. [E]

 

45. F V V V

 

46. [A]

 

47. [C]

 

48. [B]

 

49. [E]

 

50. [B]