GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 2

 

1. (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm£ e 600 cm£, respectivamente.

A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.

 

 

a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A.

b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

 

2. (Ufrrj 2004) Esboce graficamente as retas y = x - 1, y = x - 3, y = - x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada por estas retas.

 

 

 

3. (Unicamp 2005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se:

a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários.

b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?

 

4. (Uerj 2004) No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G.

 

 

Conhecidos a e b, determine:

a) o valor de c em função de a e b;

b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG.

 

5. (Fgv 2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função da medida h da altura.

b) Considere um ponto P situado no interior da região triangular determinada por um triângulo eqüilátero com lado de medida m. Sejam h, h‚ e hƒ as distâncias de P a cada um dos lados. Mostre que h + h‚ + hƒ é constante para qualquer posição de P e determine essa constante em função de m.

 

6. (Fuvest 2005) Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m.

 

 

 

7. (Fuvest 2005) A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que:

a) As retas t e t‚ são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) A reta t‚ é tangente às circunferências no ponto D.

Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.

 

 

 

8. (Ita 2006) Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm£, do círculo inscrito neste losango.

 

9. (Pucrj 2006) Seja ABC um triângulo eqüilátero de área 30 cm£. Seja PQR um triângulo eqüilátero com P no lado BC, Q no lado CA e R no lado AB. Dado que o ângulo CPQ é igual a 90°, determine:

a) os ângulos AQR e BRP.

b) a área do triângulo PQR.

 

10. (Ufg 2005) Considere uma semicircunferência de diâmetro åæ = 5 cm e um triângulo APB, conforme a figura a seguir:

 

 

a) Expresse a área do triângulo em função do ângulo ‘ apenas.

b) Determine o valor de ‘ para que a área do triângulo seja máxima.

 

11. (Ufg 2006) A figura a seguir é o esboço de uma pista de atletismo, com cinco raias de 60 cm de largura cada. As raias são delimitadas por retas e semicircunferências concêntricas, sendo que a raia mais interna circunscreve um campo de futebol de 70 m por 100 m.

 

 

A pista será revestida com material para amortecimento de impactos que custa R$ 15,00 o m£. Qual é, aproximadamente, o valor a ser gasto com o material de revestimento da pista?

 

12. (Ufg 2006) A figura a seguir representa um triângulo retângulo ABC e um quadrado cujo lado é igual à altura relativa à hipotenusa AB. Admitindo que AB mede 10 cm e que a área do quadrado é a metade da área do triângulo, ABC calcule:

a) o perímetro do quadrado;

b) a área do triângulo BDE.

 

 

 

13. (Ufg 2006) Um pivô central é usado para irrigação de um terreno circular de 500 metros de raio. Quantos metros cúbicos de água são necessários para irrigar o terreno espalhando em média 5 litros/m£?

 

14. (Ufrj 2004) Um setor circular de ângulo š e raio 1 foi dividido em três setores de mesmo ângulo. Cada um desses setores foi dividido em duas regiões por um arco de círculo concêntrico com o setor e de raio r, como ilustrado na figura.

 

 

Se A é a soma das áreas das regiões sombreadas e A‚ é a soma das áreas das regiões claras, determine o valor de r que torna verdadeira a igualdade A = A‚.

 

15. (Ufrj 2004) A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40m, 50m, 35m, 45m e 40m. Em toda a volta deste terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m).

 

 

Determine a área total da calçada.

 

16. (Ufrj 2006) Os triângulos ABC e åæè da figura são equiláteros e têm o centro O em comum.

 

 

Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado Ø do triângulo menor de forma que a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC.

 

17. (Ufrrj 2005) Na figura abaixo, o ponto O significa o centro de uma região circular de raio r = 5 m. O arco BC é igual ao arco CD e a medida do segmento AB é 8 m. O polígono ABCD representa uma piscina vista do alto. Determine a área da região circular que está fora da piscina.

Considere: ™ = 3,14.

 

 

 

18. (Ufsc 2005) Considere um triângulo eqüilátero cujo lado mede 12 cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm£) do quadrado.

 

19. (Ufsc 2005) Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56 cm e 32 cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

 

 

 

20. (Ufv 2004) De um piso quadrado de 34 cm de lado recortam-se pequenos triângulos retângulos isósceles de cateto x, de modo a obter um piso em forma de octógono regular, conforme ilustra a figura a seguir.

Considere Ë2 = 1,4.

 

 

a) Determine o valor de x.

b) Calcule a área de um dos triângulos recortados.

c) Calcule a área do octógono.

 

21. (Unesp 2004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é ‘ = 30°, a medida do ângulo AED é ’ e x = BE. Determine:

 

 

a) a área do triângulo BDE, em função de x.

b) o valor de x, quando ’ = 75°.

 

22. (Unesp 2004) A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AÔB por š, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de š, com 0 ´ š ´ 2™.

 

 

Se OA= 1 m e AC= 3 m, determine:

a) a expressão matemática para a função A(š).

b) o valor de š, em graus, se a área irrigada for de 8 m£.

(Para facilitar os cálculos, use a aproximação ™ = 3.)

 

23. (Unesp 2005) Considere um triângulo eqüilátero T de área 16Ë3 cm£. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T‚, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero Tƒ, e assim por diante, indefinidamente. Determine:

a) as medidas do lado e da altura do triângulo T, em centímetros;

b) as áreas dos triângulos T‚ e T‡, em cm£.

 

24. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB.

a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M.

b) Calcule o raio da circunferência C.

 

25. (Unifesp 2004) Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y = 2x e x = k, k > 0.

 

 

Nestas condições, expresse, em função de k:

a) a área A(k) da região sombreada.

b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada.

 

26. (Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

 

 

Nestas condições, calcule:

a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.

b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

 

27. (Uerj 2006) No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaque-se um dodecágono cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular, conforme mostra o desenho abaixo.

 

 

a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é um polígono regular.

b) Tomando o quadrado de lado åæ como unidade de área, calcule a área desse dodecágono.

 

28. (Ufpe 2005) A função f(x) com domínio no intervalo [0,3] tem seu gráfico esboçado a seguir. O gráfico é composto do segmento com extremos nos pontos (0,1) e (1,2) e da semicircunferência passando pelos pontos (1,2), (2,1) e (3,2).

 

 

Considerando esses dados, analise as afirmações abaixo.

(     ) A imagem da função f é o intervalo [0,2].

(     ) O valor máximo de f é 3.

(     ) O comprimento do gráfico de f é (Ë2) + ™.

(     ) Para x no intervalo [1, 3] temos f(x) = 2 + Ë[1 - (x - 2)£].

(     ) A área da região limitada pelo gráfico de f, os eixos coordenados e a reta x = 3 é (11-™)/2.

 

29. (Fuvest 2005) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = logŠx, com n > 1 (figura a seguir). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é----- split --->

a) (1/2) + [(Ë5)/2]

b) 1 + [(Ë5) /2]

c) (1/2) + Ë5

d) 1 + Ë5

e) (1/2) + 2Ë5

 

 

 

30. (Unifesp 2004) Na figura, estão representados, no plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0 ´ k ´ 3/2, a parábola de equação y = - x£ + 3x e os pontos O, P e Q de intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a parábola.

 

 

Nestas condições, o valor de k para que a área do triângulo OPQ seja a maior possível é:

a) 1/2.

b) 3/4.

c) 9/8.

d) 11/8.

e) 3/2.

 

31. (Ufv 2004) Duas placas metálicas, medindo 4 cm de largura e 6 cm de comprimento, estão sobrepostas e fixadas no ponto médio M. Com um giro de 45° em uma das placas, obtém-se uma região poligonal comum às duas placas, conforme ilustra a figura a seguir.

 

 

A área dessa região poligonal, em cm£, é:

a) 1 + 4Ë2

b) 4 + 4Ë2

c) 5 + 4Ë2

d) 2 + 4Ë2

e) 3 + 4Ë2

 

32. (Ufg 2005) Em um terreno triangular, com 1200 m£ de área, um dos lados mede 60 m. Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504 m£ de área, conforme a figura a seguir.

 

 

Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é

a) 90

b) 92

c) 100

d) 110

e) 128

 

33. (Uerj 2004) Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A'B'C', como mostra a figura.

 

 

Se S e S' são, respectivamente, as áreas de ABC e A'B'C', a razão S/S' equivale a:

a) 4

b) 2

c) Ë3

d) 3/2

 

 

34. (Enem 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

 

 

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que

a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.

b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.

c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.

d) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.

e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

 

35. (Fgv 2005) Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito.

Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é:

a) 70 mil

b) 30 mil

c) 100 mil

d) 90 mil

e) 40 mil

 

36. (Fgv 2005) Na figura, ABCD é um quadrado, e M, N e P são pontos médios de AD, BC e CD, respectivamente:

 

 

Sabendo-se que os segmentos de reta BM, BD e NP dividem o quadrado em polígonos de áreas S, S‚, Sƒ e S„, conforme indica a figura, é correto afirmar que

a) 6 S = 6 S‚ = 4 Sƒ = 3 S„

b) 4 S = 3 S‚ = 3 Sƒ = 5 S„

c) 3 S = 3 S‚ = 2 Sƒ = 4 S„

d) 3 S = 3 S‚ = 6 Sƒ = 2 S„

e) 3 S = 3 S‚ = 2 Sƒ = 6 S„

 

37. (Fuvest 2005) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região hachurada é

 

 

a) 1 - (™/6) + [(Ë3)/4]

b) 1 - (™/3) + [(Ë3)/2]

c) 1 - (™/6) - [(Ë3)/4]

d) 1 + (™/3) - [(Ë3)/2]

e) 1 - (™/3) - [(Ë3)/4]

 

38. (Fuvest 2005) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo eqüilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

a) 5Ë3

b) 6Ë3

c) 7Ë3

d) 8Ë3

e) 9Ë3

 

39. (Fuvest 2006) Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado åæ e a altura do triângulo ABC em relação a æè é ‘. Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de ‘, pela expressão:

 

 

a) (2/™) cos£‘

b) (2/™) sen£2‘

c) (2/™) sen£2‘ cos‘

d) (2/™) sen‘ cos2‘

e) (2/™) sen2‘ cos£‘

 

40. (Ita 2004) Duas circunferências concêntricas C e C‚ têm raios de 6 cm e 6Ë2 cm, respectivamente. Seja åæ uma corda de C‚, tangente à C. A área da menor região delimitada pela corda åæ e pelo arco AB mede, em cm£,

a) 9 (™ - 3)

b) 18 (™ + 3)

c) 18 (™ - 2)

d) 18 (™ + 2)

e) 16 (™ + 3)

 

41. (Ita 2005) Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(AB) = 8 cm, m(AC) = 10 cm, m(AD) = 4 cm e m(AE) = 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é

a) 1/2.

b) 3/5.

c) 3/8.

d) 3/10.

e) 3/4.

 

42. (Puc-rio 2005) Um círculo de área C e um quadrado de área Q têm o mesmo perímetro. Logo a razão Q/C vale:

a) ™

b) 1/2

c) ™/4

d) 2™

e) 1/4

 

43. (Puccamp 2005) Na abertura da Olimpíada de Atenas, um Ulisses menino acenava de um barquinho nada épico, que parecia de papel. Suponhamos que sua construção tenha sido inspirada no barquinho mostrado na figura 1, que foi feito a partir de dobraduras de uma folha de papel retangular.

Considere que, desmontado o barquinho, a folha de papel ficará com as marcas das dobras, conforme indica o tracejado na figura 2.

 

 

Nessas condições, se o lado de cada quadrado sombreado mede 4Ë2 cm, a área da superfície da folha de papel, em centímetros quadrados, é

a) 64

b) 80

c) 160

d) 192

e) 384

 

44. (Pucpr 2005) No quadrado ABCD de lado 2, traçam-se dois arcos com centro nos vértices A e C e raio igual ao lado do quadrado.

A área delimitada por estes dois arcos é:

 

 

a) (™ - 1)

b) (™ - 4)

c) 2 (™ - 1)

d) (™ - 2)

e) 2 (™ - 2)

 

45. (Pucsp 2006) Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de IR em IR, definida por f(x) = k.sen mx, em que k e m são reais, e cujo período é 8™/3.

 

 

A reta que contém os pontos A e B determina com os eixos coordenados um triângulo cuja área, em unidades de superfície, é

a) 2™

b) 13™/6

c) 7™/3

d) 5™/2

e) 8™/3

 

46. (Ueg 2005) Deve ser demarcado um terreno na forma de triângulo retângulo com 600 m£ de área, cujo maior lado mede 50 m. Quantos metros lineares de muro serão necessários para cercar esse terreno?

a) 190

b) 150

c) 130

d) 120

e) 110

 

47. (Uel 2005) Um terreno possui a forma de um trapézio isósceles ABCD, conforme a figura a seguir.

 

 

A base maior DC tem 64 metros; a base menor AB tem 28 metros e a altura do trapézio é igual a 49 metros. O dono do terreno deseja dividi-lo em dois polígonos de áreas equivalentes e com mesmo perímetro. Para efetuar esta divisão deverá traçar um segmento de reta PQ . O ponto P deverá estar na base maior DC a uma distância de 24 metros do vértice C e o ponto Q sobre a base menor AB.

Nestas condições, a distância do ponto Q ao vértice B deverá ser igual a:

a) 18 metros.

b) 20 metros.

c) 22 metros.

d) 24 metros.

e) 28 metros.

 

48. (Uel 2006) Uma construtora fez um loteamento em um terreno cujo formato está representado na figura a seguir, onde AB//CD//EF.

 

 

É correto afirmar que a área total do terreno, em m£, é:

a) 525 m£

b) 675 m£

c) 150 (2 + Ë7) m£

d) 300 (1 + Ë7) m£

e) 450Ë7 m£

 

49. (Ufc 2006) Uma folha de cartolina quadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado visível e preta no seu verso. Ao dobramos a cartolina, sem emborcá-la, ao longo de um segmento que une um vértice ao ponto médio de um lado não incidente sobre esse vértice, resulta num polígono P que tem uma parte branca e uma parte preta visíveis. Assinale a alternativa na qual consta a melhor aproximação da porcentagem da área branca visível do polígono P em relação à área de P.

a) 67%

b) 65%

c) 50%

d) 35%

e) 33%

 

50. (Ufg 2004) A matemática grega, sintetizada nos "Elementos" de Euclides (300 a. C.), não conhecia números irracionais. No entanto, Euclides provou que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados dos seus diâmetros. Se considerarmos dois círculos de raios r e r‚  e áreas A e A‚, respectivamente, a relação provada por Euclides pode ser escrita como:

a) A/A‚ = r/r‚

b) A/A‚ = (r/r‚)£

c) A/A‚ = r£/r‚

d) A/A‚ = r/r‚£

e) (A/A‚)£ = r/r‚

 

51. (Ufg 2005) Um terreno tem a planta representada num plano cartesiano, como mostra o gráfico a seguir.

 

 

A área do terreno, em metros quadrados, será

a) 1400

b) 1100

c) 1000

d) 900

e) 800

 

52. (Ufg 2006) A figura a seguir representa uma pipa simétrica em relação ao segmento AB, onde AB mede 80 cm. Então a área da pipa, em m£, é de

 

 

a) 0,8Ë3

b) 0,16Ë3

c) 0,32Ë3

d) 1,6Ë3

e) 3,2Ë3

 

53. (Ufla 2006) No projeto de reforma de uma casa, pretende-se fazer um jardim em forma de triângulo numa área retangular de dimensões 15 m × y m. Qual deve ser o valor de y, de modo que o jardim tenha uma área de 23 m£?

 

 

a) 4,0 m

b) 1,5 m

c) 3,0 m

d) 1,0 m

e) 3,5 m

 

54. (Ufmg 2005) Observe esta figura:

 

 

Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma circunferência. O segmento AC e o raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm.

Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm£, é

a) 6Ë13.

b) 8Ë13.

c) 12Ë13.

d) 4Ë13.

 

 

55. (Ufmg 2006) Neste plano cartesiano, está representado o quadrilátero ABCD:

 

 

Sabe-se que

- A = (1, 0), C = (11, 11) e E = (3, 7);

- o ponto B está no eixo x e o ponto E, no lado CD; e

- os lados AD e BC são paralelos ao eixo y.

 

Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD é

a) 87,5.

b) 82,5.

c) 85.

d) 86.

 

56. (Ufpe 2005) Uma propriedade rural tem a forma do triângulo ABC representado na figura. A região cultivada corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se que AD = (3/4) AB e AE = (2/3) AC, que porcentagem da área da propriedade rural é cultivada?

 

 

a) 50%

b) 60%

c) 66%

d) 75%

e) (1/2) [(2/3)+(3/4)] .100%

 

57. (Ufpe 2005) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do retângulo sombreado?

 

 

a) 80

b) 90

c) 100

d) 120

e) 140

 

58. (Ufpe 2005) Na figura abaixo, as circunferências têm centros nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a três lados do retângulo. Sabendo que cada círculo tem área 2, qual é a área do retângulo?

 

 

a) 4

b) 12/™

c) 4™

d) 12-™

e) 3

 

59. (Ufpr 2006) Uma pessoa pretende adquirir um terreno de esquina para construir sua casa, porém ela não sabe a área do terreno. As únicas informações disponíveis são que o terreno possui o formato de um trapézio retângulo com um dos lados medindo 10 m e outro medindo 24 m. Além disso, o ângulo entre esses lados é de 120 graus, conforme a figura abaixo. Qual é a área desse terreno? Considere Ë3 = 1,73.

 

 

a) 314,32 m£

b) 346,54 m£

c) 360,58 m£

d) 308,70 m£

e) 332,16 m£

 

60. (Ufrn 2004) Um monumento arquitetônico foi construído tendo por base as regiões 1 e 2 da figura abaixo, que são delimitadas por duas semicircunferências (NFM e MFP) e um quarto de circunferência (NGP). Sabe-se que o valor da construção sobre a região 1 está para a área da região 1 assim como o valor da construção sobre a região 2 está para a área da região 2.

 

 

Se, na parte construída sobre a região 1, foram gastos R$5.000,00, podemos afirmar que, na parte construída sobre a região 2, foram gastos

a) R$ 2.500,00.

b) R$ 7.500,00.

c) R$ 5.000,00.

d) R$ 10.000,00.

 


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GABARITO

 

1. a) f(x) = -x£ + 50x, com 0 < x < 50.

b) 625 cm£

 

2. Observe a figura abaixo:

 

 

 

 

A = A + A ‚ = 3 u.a.

 

3. a) Não

 

b) 400 (8 - ™) km£

 

4. a) c = Ë [ (a£ + b£)/5 ]

b) S/S‚ =1, onde S e S‚ são, respectivamente, as áreas dos triângulos ADG e BEG.

 

5. a) [h£(Ë3)]/3

 

b) Considere o triângulo eqüilátero ABC da figura:

 

 

            As áreas dos triângulos PAB, PAC e PBC são, respectivamente: (m . h)/2, (m . h‚)/2 e (m . hƒ)/2.

             Sendo [m£ . (Ë3)]/4 a área do triângulo ABC, é imediato que:

            [(m . h)/2] +  [(m . h‚)/2] + [(m . hƒ)/2] = [m£ . (Ë3)]/4]    Ì

 

             h + h‚ + hƒ =  [m . (Ë3)]/2

 

Donde concluímos que h + h‚ + hƒ é constante para qualquer posição do ponto P.

           

 

6. m = 2 + [(5Ë2)/2]

 

7. [(R + r) . Ë(R . r)]/2.

 

8. 144 ™cm£

 

9. a) AQR = BRP = 90°

 

b) 10 cm£

 

10. a) (25/4)sen 2‘

 

b) ‘ = 45°

 

11. (3285 ™ + 9000) reais

 

12. a) 10 cm

 

b) 25/4 cm£

 

13. 1250™ m¤

 

14. r =  (Ë2)/2

 

15. (420 + 4™) m£

 

16. [(2 - Ë2)/2]L.

 

17. 30,5 m£

 

18. 54 cm£

 

19. x = 11 cm

 

20. a) x = 10,2 cm

b) 52,02 cm£

c) 947,92 cm£

 

21. a) 3x/2 cm£

b) 6[(Ë3) -1] cm

 

22. a) A(š) = 15š/2

b) š = 64°

 

23. a) 8 cm e 4Ë3 cm

 

b) 4Ë3 cm£ e (Ë3)/256 cm£

 

24. a) 50 cm£

 

b) 25/4 = 6,25 cm

 

25. a) A(k) = k£

b) k(3 + Ë5) u.c.

 

26. a) 6(Ë3) - 2™ unidades de área

b) 4™ unidades de comprimento

 

27. a)

 

 

Considere a figura acima.

Sendo o ângulo FPG = ‘, temos:

             ‘ + 90° + 120° + 90° = 360° => ‘ = 60°.

Como os lados adjacentes ao ângulo ‘ são os lados de quadrados congruentes, o triângulo FGP é isósceles de base FG. Consequentemente, os ângulos GFP e FGP são congruentes. Daí, o triângulo FGP é eqüilátero. Portanto, o dodecágono é eqüilátero.

Observando ainda que os ângulos internos do dodecágono são dados por 90°+ 60°=150°, concluímos que o mesmo é eqüiângulo.

Por conseguinte, este polígono é regular.

 

b) 6 + 3Ë3

 

28. F F V F V

 

29. [A]

 

30. [B]

 

31. [B]

 

32. [B]

 

33. [A]

 

34. [E]

 

35. [A]

 

36. [E]

 

37. [C]

 

38. [B]

 

39. [E]

 

40. [C]

 

41. [D]

 

42. [C]

 

43. [E]

 

44. [E]

 

45. [E]

 

46. [D]

 

47. [C]

 

48. [C]

 

49. [A]

 

50. [B]

 

51. [B]

 

52. [B]

 

53. [A]

 

54. [C]

 

55. [C]

 

56. [A]

 

57. [C]

 

58. [B]

 

59. [E]

 

60. [C]