GEOMETRIA ESPACIAL: PIRÂMIDES

1. (Ita 96) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será:

a) (Ë3/9)x cm

b) (Ë3/18)x cm

c) (Ë3/6)x cm

d) (Ë3/3)x cm

e) (Ë3/2)x cm

 

2. (Ufpr 2004) Considerando o cubo representado na figura abaixo, de vértices A, B, C, D, E, F, G e H, e designando como ‘ o plano que contém os pontos C, D, E e F, é correto afirmar:

 

 

(01) O plano ‘ divide o cubo em duas pirâmides.

(02) O plano ‘ é perpendicular à face EADH.

(04) O plano ‘ é paralelo à aresta åæ.

(08) A pirâmide cujos vértices são A, B, C e F tem volume igual a um oitavo do volume do cubo.

(16) O volume do cilindro circunscrito ao cubo é maior do que uma vez e meia o volume do cubo.

(32) A esfera inscrita no cubo tem raio igual à aresta do cubo.

 

Soma (       )

 

3. (Fuvest 2004) No sólido S representado na figura ao lado, a base ABCD é um retângulo de lados AB = 2Ø e AD = Ø; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos eqüiláteros e o segmento EF tem comprimento Ø.

Determinar, em função de Ø, o volume de S.

 

 

 

4. (Ufmg 2005) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço:

 

- uma esfera de raio ¤Ë2 dm;

- um cilindro circular reto com raio da base Ë2 dm e altura Ë2 dm;

- um paralelepípedo retangular de dimensões Ë3 dm, Ë3 dm e Ë7 dm; e

- uma pirâmide reta de altura Ë5 dm e de base quadrada com lado Ë12 dm.

 

Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO fará com que a água transborde?

a) A pirâmide

b) O cilindro

c) O paralelepípedo

d) A esfera

 

 

5. (Ita 95) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm£, vale:

a) (a£Ë327)/4

b) (a£Ë109)/2

c) (a£Ë3)/2

d) [a£Ë3.(2+Ë33)]/2

e) [a£Ë3.(1+Ë109)]/4

 

6. (Pucsp 95) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8Ë2cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 520.

b) 640.

c) 680.

d) 750.

e) 780.

 

7. (Fuvest 95) No cubo de aresta 'a' mostrado na figura adiante, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a,

a) o comprimento do segmento XY.

b) a área da base da pirâmide.

c) o volume da pirâmide.

 

 

 

8. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta Ø, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo?

 

9. (Unesp 93) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a:

a) 3/4 BA

b) 2/3 BA

c) 3/5 BA

d) 1/3 BA

e) 1/6 BA

 

 

 

10. (Unesp 93) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à aresta OA.

Se 'a' expressa a medida de MN, determine o volume da pirâmide em função de 'a'.

 

 

 

11. (Fei 95) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30cm£ e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:

a) 10 cm¤

b) 20 cm¤

c) 30 cm¤

d) 40 cm¤

e) 50 cm¤

 

12. (Ufpe 96) Calcule o quadrado do volume do octaedro regular, cujas arestas medem ¤Ë3 unidades de comprimento.

 

13. (Puccamp 95) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2Ë3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é

a) 24Ë3

b) 36Ë3

c) 48Ë3

d) 72Ë3

e) 144Ë3

 

14. (Unicamp 96) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T.

a) Calcule a altura do tetraedro ABCD.

b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular.

c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST.

 

15. (Unirio 95) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:

a) H/6

b) H/3

c) 2H

d) 3H

e) 6H

 

16. (Unesp 89) Calcule a altura H e o seno do ângulo diedro formado por duas faces quaisquer de um tetraedro regular cujas arestas medem "a" cm.

 

 

 

17. (Uece 96) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2Ë2cm e uma aresta lateral mede Ë22cm. O volume dessa pirâmide, em cm¤, é:

a) 7Ë2

b) 8Ë2

c) 9Ë2

d) 10Ë2

 

 

18. (Mackenzie 96) O volume do sólido da figura a seguir é:

 

 

a) Ë3/12.

b) Ë3/18.

c) Ë3/20.

d) Ë3/24.

e) Ë3/36.

 

19. (Faap 96) Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é:

a) a intersecção pode ser um quadrilátero

b) a interseção é sempre um triângulo

c) a interseção é sempre um triângulo equilátero

d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero

e) a intersecção nunca é um quadrilátero

 

20. (Ufpe 95) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm¤ é o volume da pirâmide, determine(1/3)V.

 

 

 

21. (Cesgranrio 93) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é:

a) (x¤Ë2)/3

b) (x¤Ë2)/6

c) (x¤Ë3)/2

d) (x¤Ë3)/6

e) x¤

 

22. (Pucsp 97) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são

 

1° Sua base é um quadrado com 100 m de lado.

2° Sua altura é de 100 m.

 

Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m¤, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de

a) 40 anos.

b) 50 anos.

c) 60 anos.

d) 90 anos.

e) 150 anos.

 

23. (Mackenzie 96) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18™rd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é:

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

 

24. (Fei 96) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente. Considere as afirmações:

 

I. O triângulo XCD é isósceles

II. O triângulo XBD é retângulo

III. O triângulo XYA é equilátero

 

Assinale a alternativa correta:

a) Somente a I e II são verdadeiras.

b) Somente a I e III são verdadeiras.

c) Somente II e III são verdadeiras.

d) Todas são verdadeiras.

e) Somente I é verdadeira.

 

25. (Fei 97) Em cada face de um tetraedro regular desenhou-se um trevo de 3 folhas estilizado, conforme indicado na figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é:

 

 

a) (t£Ë3)/2

b) (t£Ë3)/3

c) (t£Ë3)/6

d) (t£Ë3)/9

e) (t£Ë3)/12

 

26. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø = 1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros.

O ângulo AMT mede:

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) arc tg Ë2

e) arc tg Ë2/2

 

27. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø = 1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros.

O volume do poliedro de vértice T e base AMN é:

a) Ë2 /6

b) Ë2 /12

c) Ë2 /24

d) Ë2 /36

e) Ë2 /48

 

28. (Mackenzie 97) Pelo centro A de um quadrado MNPQ de lado Ø=1, levanta-se uma perpendicular ao plano do quadrado e une-se um ponto T dessa perpendicular aos vértices do quadrado, obtendo-se, deste modo, quatro triângulos eqüiláteros.

A área total do poliedro de vértice T e base MNPQ é:

a) (Ë3) + 2

b) 2 (Ë2 + 1)

c) Ë3 + Ë2

d) Ë2 + 1

e) Ë3 + 1

 

29. (Unesp 98) Na figura, os planos ‘ e ’ são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C, e D com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em ’, o ponto sobre o qual cairia P se o plano ‘ girasse de 90° em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com ’.

 

 

Se AB = 2Ë3, calcule o volume do tetraedro APDQ.

 

30. (Ufrs 97) Numa pirâmide regular, a base é um quadrado de lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros. O volume desta pirâmide é

a) Ë2/12 a¤

b) Ë2/6 a¤

c) Ë2/3 a¤

d) Ë3/12 a¤

e) Ë3/6 a¤

 

31. (Ita 98) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45°. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a:

a) Ë2

b) 1/3

c) Ë6

d) (Ë2)/2

e) (Ë3)/3

 

32. (Cesgranrio 97) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a:

a) 20 %

b) 16 %

c) 15 %

d) 12 %

e) 10 %

 

33. (Fuvest 99) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8m e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h´8).  Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, O ´ h ´ 8.

 

 

 

34. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano ‘ que faz 60° com sua base. Se M e N são pontos médios e se o volume do sólido assinalado é Ë3, então k mede:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

 

 

35. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo de lado k. Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4Ë2, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:

a) 8/3

b) 16

c) 8

d) 4/3

e) 16/3

 

 

 

36. (Unirio 98)

 

 

Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m¤, então, o volume do cubo, em m¤, é igual a:

a) 9

b) 12

c) 15

d) 18

e) 21

 

37. (Ufrs 98) O valor numérico de cada aresta de um cubo é 2, e os pontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no desenho a seguir. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o cubo em dois sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o volume do cubo é

a) 1/48

b) 1/32

c) 1/24

d) 1/16

e) 1/12

 

 

 

38. (Unicamp 99) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule:

a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum;

b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.

 

39. (Ufrs 96) Considere uma pirâmide regular de base quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo.

 

 

Se a altura da pirâmide é o dobro do lado "a" da base, o valor de h no padrão é

a) h = (Ë17/2 ) a

b) h = (Ë5 ) a

c) h = (Ë22/2 ) a

d) h = ( Ë6 ) a

e) h = ( 5/2 ) a

 

40. (Puccamp 99) Um octaedro regular é um poliedro constituído por 8 faces triangulares congruentes entre si e ângulos poliédricos congruentes entre si, conforme mostra a figura a seguir.

 

 

 

Se o volume desse poliedro é 72Ë2cm¤, a medida de sua aresta, em centímetros, é

a) Ë2

b) 3

c) 3Ë2

d) 6

e) 6Ë2

 

41. (Ita 99) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8m, 10m e 12m. O volume, em m¤, do sólido formado é:

a) 15Ë6

b) 5Ë30

c) 6Ë15

d) 30Ë6

e) 45Ë6

 

42. (Uff 99) Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H representando na figura abaixo.

 

 

Sabendo que a área do triângulo DEC é Ë2/2m£, calcule o volume da pirâmide cujos vértices são D, E, G e C.

 

43. (Ufes 99) Seja VABC uma pirâmide de vértice V e base ABC. O plano que passa pelo ponto C, pelo ponto médio M da aresta VA e pelo ponto médio N da aresta VB, divide-a em duas pirâmides de vértice C, uma de base triangular e volume V‹ e outra de base quadrangular e volume VŒ. A razão V‹/VŒ é

a) 1/8

b) 1/4

c) 1/3

d) 3/8

e) 1/2

 

44. (Ufsm 99) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8cm e forma uma pequena pirâmide de 10cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de

a) 2,24 cm

b) 2,84 cm

c) 3,84 cm

d) 4,24 cm

e) 6,72 cm

 

 

 

45. (Mackenzie 99) I) Se a razão entre as áreas totais de dois cubos é 4/9, então a razão entre seus volumes é 8/27.

II) Se todas as arestas de uma pirâmide triangular regular medem Ë6, então a altura da pirâmide mede 2.

III) Se a geratriz de um cone é o dobro do raio da base, então a área lateral do cone é igual a quatro vezes a área da base.

 

Das afirmações acima, apenas:

a) I é verdadeira.

b) I e II são verdadeiras.

c) II é verdadeira.

d) II e III são verdadeiras.

e) III é verdadeira.

 

46. (Ufu 99) Considere um cubo cuja aresta tem comprimento igual  1cm. Sejam A, B, C, D os centros de suas faces laterais e E, o centro de sua base, determine o volume da pirâmide de vértice E, cuja base é o quadrilátero ABCD.

Obs. Considere que o centro de uma face é o ponto de intersecção determinado pelas diagonais dessa face.

a) 2/3 cm¤

b) 1/12 cm¤

c) 1/3 cm¤

d) Ë3/6 cm¤

e) Ë3/3 cm¤

 

47. (Ufrj 2000) O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. O vértice S tem coordenadas (2,2,8).

 

 

Considere o plano z = k que divide o sólido em duas partes de volumes iguais. Determine o valor de k.

 

48. (Ufmg 2000) Observe a figura.

 

 

Essa figura representa um prisma reto de base triangular. O plano que contém os vértices B, D e F divide esse prisma em dois sólidos: DACFB, de volume V, e DEFB, de volume V‚.

Assim sendo, a razão V/V‚ é

a) 1

b) 3/2

c) 2

d) 5/2

 

 

49. (Ufpr 2000) Considere que uma folha de papel, cujo formato é um quadrado ABCD de 10cm de lado, seja dobrada ao longo da diagonal åè, conforme a figura a seguir. Sabendo-se que após a dobra a medida do ângulo entre os segmentos åæ e åî é de 60°, é correto afirmar:

 

 

(01) O triângulo ACD é eqüilátero.

(02) A distância de B a D é igual a 10cm.

(04) A distância de B ao plano determinado por A, C e D é maior do que 10cm.

(08) O tetraedro de vértices A, B, C e D tem área total menor que 200cm£.

(16) O volume da pirâmide de base ACD e vértice B é igual a um terço do volume de um cubo de 10cm de aresta.

 

Soma (       )

 

50. (Uff 2000) No tetraedro regular representado na figura,

R e S são, respectivamente, os pontos médios

de NP e OM.

 

 

A razão RS/MN é igual a:

a) Ë3

b) Ë3/2

c) Ë2

d) Ë2/2

e) 3 Ë2

 

51. (Unirio 2000) Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco é um ângulo ‘ tal que:

a) 60° < ‘ < 90°

b) 45° < ‘ < 60°

c) 30° < ‘ < 45°

d) 15° < ‘ < 30°

e) 0° < ‘ < 15°

 

52. (Uff 2000) O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura.

 

 

A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD.

O seguimento AB mede 6cm.

Determine o volume da pirâmide VACD.

 

53. (Uerj 2000) A figura abaixo representa o brinquedo Piramix.

 

 

Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos eqüiláteros congruentes.

Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido.

A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a:

a) 4/9

b) 5/9

c) 7/9

d) 8/9

 

 

54. (Fuvest 2001) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de

lado a. Sejam E e F os pontos médios de åæ e èî, respectivamente. Então, o valor de EF é:

a) a/2

b) (aË2)/2

c) (aË2)/4

d) (aË3)/2

e) (aË3)/4

 

 

 

55. (Ita 2001) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12m¤, temos que a altura da pirâmide mede (em metros):

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

56. (Ufc 2001) Em um tetraedro regular VABC, seja M o ponto médio da aresta BC; seja ‘ o ângulo cujo vértice é M e cujos lados são os segmentos da reta MA e MV. Então cos‘ é igual a:

a) 1/3

b) 1/2

c) 3/4

d) 5/6

e) 7/8

 

57. (Ufpe 2001) Na figura abaixo o cubo de aresta medindo 6 está dividido em pirâmides congruentes de bases quadradas e com vértices no centro do cubo. Qual o volume de cada pirâmide?

a) 36

b) 48

c) 54

d) 64

e) 72

 

 

 

58. (Unicamp 2001) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L=6cm e arestas laterais das faces A=4cm.

 

a) Calcule a altura da pirâmide.

 

b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

 

59. (Unesp 2002) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

 

 

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m¤) necessário para a construção da pirâmide será

a) 36.

b) 27.

c) 18.

d) 12.

e) 4.

 

60. (Ita 2002) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?

a) 2 m.

b) 4 m.

c) 5 m.

d) 6 m.

e) 8 m.

 

61. (Uerj 2002) Leia os quadrinhos:

 

 

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm¤, igual a:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

 

 

62. (Fuvest 2002) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado Ø e que E é o ponto médio do segmento åæ. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então o volume da pirâmide é:

 

 

 

a) (Ë3 ؤ)/4

b) (Ë3 ؤ)/8

c) (Ë3 ؤ)/12

d) (Ë3 ؤ)/16

e) (Ë3 ؤ)/18

 

63. (Unicamp 2002) O sólido da figura a seguir é um cubo cuja aresta mede 2cm.

 

 

a) Calcule o volume da pirâmide ABCD.

 

b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D.

 

64. (Ufscar 2002) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de um

tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do tetraedro é

a) 27/8.

b) (9Ë39)/8.

c) 9.

d) (27Ë13)/8.

e) 18.

 

 

 

65. (Ufrs 2000) Na figura, O é o centro do cubo.

 

 

Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 1/6.

e) 1/8.

 

66. (Ufrs 2000) A figura abaixo representa a planificação de um sólido.

 

 

O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é

a) 180.

b) 360.

c) 480.

d) 720.

e) 1440.

 

67. (Ufes 2000) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o lado da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter  capacidade para 720m¤, qual deverá ser a medida aproximada do lado da base?

a) 8,7 m

b) 12,0 m

c) 13,9 m

d) 15,0 m

e) 16,0 m

 

68. (Ufes 2001) A cobertura de um galpão tem duas águas (faces) iguais de mesma declividade; o vão mede 2a metros e a flecha mede b metros, tal como mostra a figura.

 

 

Projeta-se reformar o telhado, criando uma terceira água (triângulo hachurado). O material será reutilizado; não se quer comprar novas telhas. Nessas condições, estima-se que haverá uma perda de 20% de telhas, devido a quebras e recortes necessários ao acabamento. Chamando de x o comprimento do trecho a ser eliminado na cumeeira, ache os valores possíveis de x e discuta os valores de a, b e do comprimento Ø, para que a reforma proposta possa ser executada.

 

69. (Ufrs 2001) O tetraedro regular ABCD está representado na figura abaixo.  M é o ponto médio da aresta æè e N é o ponto médio da aresta èî.

 

 

O cosseno do ângulo NMA é

a) 1/6.

b) (Ë3)/6.

c) 1/3.

d) (Ë3)/3.

e) (Ë3)/2.

 

70. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero.

 

 

O volume da pirâmide é

a) 12 Ë3.

b) 27 Ë3.

c) 36 Ë3.

d) 72 Ë3.

e) 108 Ë3.

 

71. (Ufc 2002) Um tetraedro regular tem arestas medindo Ë6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:

a) 1/2 cm

b) 1 cm

c) 3/2 cm

d) 2 cm

e) 5/2 cm

 

72. (Ufc 2002) Sejam P e P‚  dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular. Sejam d, a soma das distâncias de P às faces do tetraedro regular, e d‚, a soma das distâncias de P‚ às faces do tetraedro regular. Mostre que d = d‚.

 

73. (Ufsm 2002) Uma pirâmide tem altura H. A que distância do vértice deve-se passar um plano paralelo à base, para dividi-la em duas partes de mesmo volume?

 

a) H/¤Ë2

b) ¤ËH/2

c) 3ËH

d) H/3

e) H/2

 

74. (Ufsc 2003) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm¤, é:

 

75. (Ita 2003) Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento 2 R. Determine, em função de R, a expressão do volume do tetraedro circunscrito às quatro esferas.

 

76. (Fuvest 2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m£. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90

b) 100

c) 110

d) 120

e) 130

 

77. (Ufes 2002) Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H dividem, respectivamente, cada uma das arestas da base de um cubo em três partes iguais, conforme as figuras a seguir. Um ponto está sobre uma aresta do cubo e a uma distância da base igual a 2/3 da aresta.

 

 

A razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de vértice V e base ADFH é

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

 

78. (Fuvest 2004) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:

 

 

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5

e) 3

 

79. (Ufpe 2004) As duas pirâmides ilustradas abaixo (figura 1) têm base quadrada e faces laterais formadas por triângulos eqüiláteros de lado 10Ë3. As bases das pirâmides estão no mesmo plano, têm pares de lados opostos paralelos e distâncias indicadas na figura. Qual a menor distância a ser percorrida para se ir do vértice A de uma das pirâmides ao vértice B da outra, caminhando ou sobre a superfície das pirâmides ou pelo plano?

Sugestão: Planifique as faces a serem percorridas para se obter a menor distância como a seguir (figura 2).

 

 

 

80. (Ita 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360™cm¤, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54Ë3 cm£, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm£,

a) 18 Ë427

b) 27 Ë427

c) 36 Ë427

d) 108 Ë3

e) 45 Ë427

 

81. (Ufes 2004) O comprimento do lado da base de uma pirâmide regular de base quadrada é igual ao raio de um cilindro circular reto. A interseção da pirâmide com o plano passando pelo seu vértice e por uma diagonal de sua base tem a mesma área que a interseção do cilindro com um plano passando pelo seu eixo.

A razão Vc/Vp entre os volumes Vc do cilindro e Vp da pirâmide é

a) [(Ë2)/4]™

b) [3(Ë2)/8]™

c) [(Ë2)/2]™

d) [3(Ë2)/4]™

e) [3(Ë2)/2]™

 

82. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.

 

 

Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é

a) 25.

b) 25Ë3.

c) 75.

d) 50Ë3.

e) 100.

 

83. (Fuvest 2005) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e ‘ a medida do ângulo AGB, então cos‘ vale

 

 

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/4

d) 1/5

e) 1/6

 

84. (Fuvest 2005) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3.

As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4Ë10 e 2Ë37 . Calcule o volume da pirâmide.

 

 

 

85. (Ita 2005) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0; 0), B = (2, 2) e C = (1 - Ë3, 1 + Ë3). O volume do tetraedro é

a) 8/3.

b) 3.

c) (3Ë3)/2.

d) (5Ë3)/2.

e) 8.

 

86. (Pucpr 2005) Dadas três retas paralelas não situadas no mesmo plano, toma-se sobre uma delas um comprimento AB dado e, arbitrariamente, um ponto C sobre a segunda reta e um ponto D sobre a terceira reta.

A respeito do volume da pirâmide triangular ABCD, podemos afirmar que é diretamente proporcional a:

a) AD

b) AC

c) AB

d) BC

e) BD

 

87. (Uff 2005) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.

A área da base dessa pirâmide, em m£, é:

a) 13.272

b) 26.544

c) 39.816

d) 53.088

e) 79.432

 

88. (Fgv 2005)

 

As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V e V‚ os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V representa de V‚

a) 25%.

b) 45%.

c) 50%.

d) 65%.

e) 75%.

 

89. (Ufscar 2005) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides.

 

 

Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm¤, é

a) 67,2.

b) 80.

c) 89,6.

d) 92,8.

e) 96.

 

90. (Ufrj 2006) Em um tanque no formato de um cubo de aresta 25cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide P (fig.1), de altura igual a 6cm, com a base apoiada no fundo do tanque. Com isso, o nível de líquido passou de 18cm para 19cm.

a) Calcule o volume, em cm¤, da pirâmide P.

b) A pirâmide P foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao inicial. Uma pirâmide P‚ (fig.2), de 30cm de altura, foi então posta no tanque, com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2cm o nível de líquido.

Determine o volume da pirâmide P‚.

 

 

 

91. (Ita 2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3Ë3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm£, é

a) 81(Ë3) / 2

b) 81(Ë2) / 2

c) 81/2

d) 27Ë3

e) 27Ë2

 

92. (Uerj 2006) Observe as figuras a seguir.

 

 

A figura I mostra a forma do toldo de uma barrada, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos.

Calcule:

a) a distância h da aresta åæ ao plano CDEF;

b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em função de h.

 

93. (Ufc 2003) Um cone circular reto e uma pirâmide de base quadrada têm a mesma altura e o mesmo volume. Se r é a medida do raio da base do cone, e b é a medida do lado da base da pirâmide, então o quociente b/r é igual a:

a) 1/3

b) 1

c) ˙

d) ™

e) 2™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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GABARITO

 

1. [B]

 

2. 02 + 04 + 16 = 22

 

3. 5(Ë2)ؤ/12

 

4. [C]

 

5. [E]

 

6. [B]

 

7. a) aË2

b) (a£Ë6)/2

c) a¤/3

 

8. V = ؤ/6

 

9. [A]

 

10. 8a¤ Ë3

 

11. [E]

 

12. 2

 

13. [C]

 

14. a) 3Ë6 cm

 

b) Observe a figura a seguir:

 

 

Os planos das faces BCD e RST são paralelos e os segmentos RS e BC são coplanares, então o segmento RS // BC; da mesma forma o segmento ST // CD e RT // BD. Assim, ÐARS ~ ÐABC,

ÐAST ~ ÐACD e ÐART ~ ÐABD.

 

c) (9 - Ë6) cm

 

15. [E]

 

16. H = aË6/3

sen ‘ = 2Ë2/3

 

17. [B]

 

18. [E]

 

19. [A]

 

20. 81 cm¤

 

21. [B]

 

22. [B]

 

23. [C]

 

24. [D]

 

25. [B]

 

26. [B]

 

27. [C]

 

28. [E]

 

29. O volume do tetraedro APDQ é igual a Ë3.

 

30. [B]

 

31. [D]

 

32. [E]

 

33. [3/16 (8 - h)¤ + 36h - 96] m¤

 

34. [D]

 

35. [E]

 

36. [D]

 

37. [A]

 

38. a) 3 Ë2 cm

b) Ë6/2 cm

 

39. [A]

 

40. [D]

 

41. [A]

 

42. 1/6 m¤

 

43. [C]

 

44. [C]

 

45. [B]

 

46. [B]

 

47. k = 8/3

 

48. [C]

 

49. 02 + 08 = 10

 

50. [D]

 

51. [A]

 

52. Volume = 72Ë3 cm¤

 

53. [C]

 

54. [B]

 

55. [C]

 

56. [A]

 

57. [A]

 

58. a) 2 cm

 

b) 4 cm

 

59. [D]

 

60. [C]

 

61. [D]

 

62. [D]

 

63. a) 4/3 cm¤

 

b) Ë2 cm

 

64. [C]

 

65. [D]

 

66. [C]

 

67. [B]

 

68. x = a.b/Ë(0,64 b£ - 0,36 a£), tal que

0 < x < Ø e b > 3a/4.

 

69. [B]

 

70. [C]

 

71. [D]

 

72. Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes dessas quatro pirâmides é obviamente igual ao volume do tetraedro. Sejam h, h‚, hƒ e h„, respectivamente, as alturas dessas pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos:

 

 

Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e ACD são todos congruentes. Logo

 

h + h‚ + hƒ + h„ = h

 

Como h, h‚, hƒ e h„ são as distâncias de P às quatro faces do tetraedro, provamos que independente da posição de P essa soma é constante e igual à altura do tetraedro.

 

73. [A]

 

74. 24

 

75.

 

Sendo h a altura do tetraedro regular t cujos vértices são os centros das quatro esferas, H a altura do tetraedro regular T circunscrito a elas, L a medida de cada aresta de T e V o volume do tetraedro T, têm-se:

1°) h = (2RË6)/3

 

2°) H/4 = h/4 + R Ì H = h + 4R

Assim: H = (2RË6)/3 + 4R Ì H = [2R (Ë6 + 6)]/3

 

3°) H = (LË6)/3

Assim: [2R (Ë6 + 6)]/3 = (LË6)/3 Ì L = 2R (1 + Ë6)

 

4°) V = (L¤Ë2)/12 = [2R (1 + Ë6)]¤ . Ë2/12 Ì

 

V = [2Ë2 (1 + Ë6)¤ R¤/3]

 

76. [A]

 

77. [A]

 

78. [B]

 

79. 39 unidades de comprimento

 

80. [A]

 

81. [D]

 

82. [A]

 

83. [B]

 

84. 24 u.v.

 

85. [A]

 

86. [C]

 

87. [D]

 

88. [E]

 

89. [C]

 

90. a) 625 cm¤

b) (16875/13) cm¤.

 

91. [A]

 

92. a) h = 0,8 m

 

b) V = 8h

 

93. [C]