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Artigos > Educação Matemática > Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton
Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton
Published by Math on 08/29/2010 (3599 reads)
Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton
Autor:Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino



No post Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal Neste artigo vamos apresentar outras aplicações destes números especiais.

Vejamos dois corolários do teorema das colunas:


Corolário 1: A soma dos [;n;] primeiros números naturais ao quadrado é igual a [;n(n+1)(2n+1)/6;].

Demonstração: O teorema das colunas afirma que

[;\sum_{k=p}^{n}{k \choose p} = {n+1 \choose p+1};]

Fazendo [;p=2;] nesta expressão, segue que

[;\sum_{k=2}^{n}{k \choose 2} = \sum_{k=2}^{n}\frac{k(k-1)}{2} = {n+1\choose 3} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k^2 - \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k = {n+1 \choose 3};]
ou
[;\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}k + 2\times\frac{(n+1)n(n-1)}{3!};]

Sendo [;n(n+1)/2;] a soma dos [;n;] primeiros números naturais, obtém-se o resultado após algumas manipulações algébricas.

Corolário 2: (Teorema das Diagonais) A soma dos coeficientes binomiais de uma diagonal do triângulo de Pascal até a enésima linha, começando [;p;] unidades do primeiro elemento é dada por [;C_{p+n+1,n+1} = C_{p+n+1,p};], ou seja:

[;\sum_{k=0}^{n}{p+k\choose k} = {p+n+1\choose n+1} = {p+n+1 \choose p};]

Demonstração: Basta aplicar o teorema das colunas.

Proposição 5: (Binômio de Newton) Dados [;x, y \in \mathbb{R};] e [;n \in \mathbb{N};], temos

[;(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k};]

Demonstração: Usaremos a técnica de indução finita sobre [;n;]. Para [;n=0;], temos

[;(x + y)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{0}{0 \choose 0}x^0y^{0-0};]

Suponhamos que a expressão é válida para [;n;] e provaremos sua validade para [;n+1;], ou seja,

[;(x + 1)^{n+1} = (x + y)^n(x + y) = (x +y)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k}\\ \quad = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}x^{k}y^{n+1-k}\quad \quad (1);]

Para o primeiro somatório no segundo membro, temos

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} = \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + {n \choose n}x^{n+1};]

e para segundo, temos



Substituindo essas expressões em [;(1);] e após algumas manipulações algébricas, segue que:

[;(x+y)^{n+1} = {n+1 \choose 0}y^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\biggl[{n \choose k-1} + {n \choose k} \biggr]x^ky^{n+1-k} + {n+1 \choose n+1}x^{n+1};]

Usando a relação de Stifel no somatório acima e reunindo os termos, completa-se a demonstração.

Corolário 2: Segue imediatamente do binômio de Newton:

[;i)\ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} = 2^n;]

[;ii)\ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} = 0;]

[;iii)\ \sum_{k=0}^{n}p^k{n \choose k} = (p+1)^n, \quad p \in \mathbb{N};]

A demonstração deste corolário é deixada para o leitor. No próximo post, veremos outras somas relacionadas ao binômio de Newton através das derivadas de algumas funções potências.


Fonte: Blog Fatos Matemáticos


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Tags: Análise Combinatória   Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton  


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